例題 C1.56 点の位置と体積比
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四面体 ABCD において, AP + 2BP + 3CP +4DP= 0 が成り立つとき,
(1) 点Pはどのような位置にあるか.
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(2)4つの四面体 PBCD,PCDA, PDAB, PABCの体積比を求めよ、
[考え方 (1) 各点を位置ベクトルで表す.ここでは,点A
を基点として考える.
分点の公式の特徴を利用して、式変形してい
く
na+m言
和がm+n
解答
m+n
と直線OG
(2)(1) で求めた点Pの位置に注意して、体積比を考えていく。
右の図のように底面積が等しい2つの四面体の体積比は
高さの比と等しい。つまり、右の場合の体積比はa:bと
なる.
(1) AP=p, AB=1, AC=c, AD=d とおくと,与式は,
+2(-5)+3(pc)+4(p-d)=0 (10)+50-
整理して 10=26+3c+4d++
-=7é とすると,①より,
6
10=26+7e②
ここで、3c+4d=7.3c+4d
7
1970さらに26+76=9
9
#2008
26+7e9} とすると②より,
A
a
STA
BP=AP-AB
3+4=7, 2+7=9
であることに注意し
て分母を設定する。
+16+le
9
;-17
=
10
よって, 線分 CD を 4:3 に
内分する点を E とし, 線分 BE B
を7:2に内分する点をFとす
ると、点Pは, 線分AF を 9:1
に内分する位置にある.
7
C
16
P1
F2-
E
3
D
前にe, fがどん
な点を表すか説明す
る.
ですよね笑
ありがとうございました！