Question

依桜

数学と人間の活動の問題です。この解説の赤より上のところは理解出来たのですが、その下が分からないので教えてください。

(2)200 以下の自然数のうち,正の約数が 10 個である数の個数を求めよ。
ト
根号の中を素因数分解したとき, 各指数が偶数となればよい。

(2) 10 を素因数分解すると
10=2.5
よって, 正の約数の個数が10個である自然数n
を素因数分解すると,
p, pq^ (p, gは異なる素数)
のいずれかの形で表される。
[1] 自然数n が pの形で表されるとき
2> 200 であるから,条件を満たさない。
[2]自然数n pq4 の形で表されるとき
q=2 とすると
3.24=48, 5.24=80, 7.24=112, 11.2 = 176,
13.24=208> 200 であるから,p=3,5,7,11
は条件を満たす。
g=3 とすると
2.34=162,5.34=405> 200 であるから,p=2
は条件を満たす。
g≧5 とすると
2.5=1250 であるから, 条件を満たさない。
以上から,200 以下の自然数のうち,正の約数が
10個である数は, 48, 80, 112,176, 162 の5個
である。
S
参考 (2) の [2] について, 2, 3, .... と考えていっ
てもよいが,条件を満たす素数が多いため、上の
解答のようにgで考えたときよりも煩雑になる。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

特別な知識を使うところではなく、
真面目に考えていくだけです

pq⁴(p,qは異なる素数)が200以下の自然数です
素数を4乗すると相当大きくなるから、
qはあまり大きくなれません
だからpよりもqに注目します

小さい方から
qが2のとき、3のとき、5のとき、7のとき、…
を考えていきます
q=5,7,11,13,…のときは4乗してすでに大きく、
pを掛けるまでもなくq⁴の時点で200を超えます
qは2か3しかありません

q=2のときpq⁴は16pです
pはqと異なる素数なので3,5,7,11,13,17,…という感じです
16pにそれぞれ代入して200を超えないものは
p=3,5,7,11のみです

q=3のときも同様です
pq⁴は81p
pは2,5,7,11,13,17,…のうち200を超えないのはp=2のみ

以上、条件を満たすpq⁴をすべて書き出して終わりです

依桜

理解出来ました！解説ありがとうございます。