Question

わ。

中央の値というのはどこからわかるのでしょうか？

124
第5章 微分法
基礎問
69 増減・極値 (I)
f(x)=-x+α(x-2)2 (a>0) について, 次の問いに答えよ。
(1) f(x)が極小値をもつようなαの値の範囲を求めよ。
(2) (1)のとき極小値を与えるxを とすれば, 2<x<3 が成りたつこ
精講
とを示せ
4次関数の微分は,技術的には,数学Ⅱの微分の考え方と差はあり
ません。
(1) 4次関数 (x^ の係数 <0) が極小値をも
つとはどういうことでしょうか?
とりあえず、f'(x)=0 をみたすx が存在しないと
いけませんが,y=f(x) のグラフを想像すると右図
のような形が題意に適するようです.
極大 -
極大 -
N
平
X1
-極小
ということは,極大値を2つもつ必要もありそうです. このことから、次
のことがいえそうです.
f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ実
ⅡB ベク
(2)=x1 はf'(x) = 0 の3つの解を小さい順に並べたときの中央の値にな
りますが, 方程式の解が特定の範囲に存在することを示すとき, グラフを利
用します. (I・A46解の配置)
解答
(1) f'(x)=-4°+2a(x-2)=g(x) とおく.
かたむき
f(x)が極小値をもつとき, g(x)=0 は異なる3つの実数解をもつ。
g'(x)=-12x2+2a=0 を解くと
一
a
x=±
(a>0より) aia (12)\ (1)
g(x)において,(極大値)(極小値) <0であればよいので
4a
3V 6
a
4a
-4a
-4a
3V 6

05
-2519
16a²
--1602 (1-3)(+3) <0
125
ここで,a>0より,a>√
+3> 0
ゆえに,
-30 すなわち、
6
>3
>3
89
...a >54
a
より
>3の両辺が正
a>0 だから
X
y=g(x)
あり
小
.: a>54
(2) x=x1 は,g(x)=0の3つの解を小さい順
に並べたときの中央の他、すなわち, y=g(x)
のグラフとx軸との3個の交点のうち,中央の
点のx座標.ここで, g(2)=-32<0,
g(3)=-108+2a>0(a>54 より)だから,
A
D1 3
y=g(x)のグラフは右図のようになり,2<x<3
ようになりくむくろが成りたつ
次
な
利
ポイント
の係数が正の4次関数 f(x) が極大値をもつ
( x 4 の係数が負の4次関数 f(x)が極小値をもつ)
とき, f'(x)=0 は異なる3つの実数解をもつ
第5章
((% <0) 0 <1-0+ (1-8)=85-
Ici
演習問題 69
f(x)=ax+bx+cx' + dx+e が次の性質(i)~(i)をもつとき,
a, b, c,d, e の値を求めよ.0
(i) f(x)= f(2-x)
(i) f(x)は極大値をもつ。
() f(x) は x=3 において, 極小値 -4 をとる.

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

たとえば増減表をかいてみましたか？
そこからも明らかかと思います

f'(x)すなわちg(x)の符号は正0負0正0負と変化します

負0正と変化するところが極小点x=x₁であること、
f'(2)すなわちg(2)が負であること、
f'(3)すなわちg(3)が正であること
を踏まえると、2<x₁<3はやはり明らかかと思います

わ。

増減表はどのように書けば良いですか？
g(x)=0となるの時のxが求められないのですが、、

和

x,g',gの増減表がつくれるからこそ
gのグラフの概形がわかり、
(1)が解けたはずなのだと思いますが…

それはさておき、
gのグラフをざっくり把握するにおいて、
g=0を解く必要なんてありません
これまでもそうだったはずですよ

何か3次関数fのグラフを描くのに
f=0が解けなくてもf'を求めてf'=0となるxを求めて
増減表をつくったはずです