Question

おにぎり

3枚目でEを複素数zで置いて、どうしてEAなどが
|z|で表せますか?

27α=2+2i, β = -1+3i とする。 Oを原点とする複素数平面上で, αを表す点をA,B
を表す点をBとする。 また, 点Aを点Bを中心としてだけ回転した点をCとする。さら
に直線 BC と虚軸との交点をDとする。 ただし, は虚数単位とする。
B
(1)
豆を
x+yi(x, yは実数)の形に表せ。また,
B
a
a
をr(cos+isine) (r>0,0≦02)
の形で表すとき,cago の値を求めよ。 7
in
(2)点D を表す複素数を tit は実数)とする。tの値を求めよ。
(3) △ABD の外接円の中心をEとする。点E を表す複素数を求めよ。また,△ABE の面
積を求めよ。
(配点 40 )

心として たけし、
の下側にあり,∠ABD=∠AODであることから,△ABDの外接円
用いると, ∠AEB = 2∠AOBに着目して△ABEの面積を求められる。
点Eは△ABDの外接円の中心であるから
EA=ED
弧AD に対する円周角と中心角の関係より
∠AED = 2∠ABD = 2.-
T
42
y
2
B(β)
π
|4
E(2)
A (a)
x
よって,点D を点Aを中心としてだけ回転し, Aからの距離を
にした点がEである。点E を表す複素数をzとすると
こ点
がわかる。

z-(2+2i) =
π
1
(cos + sin ){1-(2+20)
√2
COS +isin-
(2+2)-(1/2+12/21) (12/12)
=
2-(2+2)=-7-11
4
2=1/+1
7
i
4
また,2点O,Bは,直線ADの下側にあり、∠ABD=∠AOD=4で
1複素数の拡大と回転
s0 とする。 複素数平
A(α), 点B(B) に対して,
r-a=s(cos0+isin0
が表す点C(y) は、 点を
中心として0だけ回転
の距離をs倍した点である。
円周角の定理の逆
4点A, B, P, Qについ
Q が直線ABの同じ側にあ
∠APB= ∠AQB ならば、こ
は、同一円周上に存在する。
P
2
無数の相等
+bi=c+di⇔
c,dが実数であるとき
a+bi=0⇔
a=cかつb=0
=1/07 5√2
N16 16
+
=
4
あるから、4点0, A, D, B は,同一円周上にある。よって
EA=EB=EO=|2|
7
121=1+別
a=0 かつb=1
さらに,∠AOB=arge で,(1)より, arg 0 であるから
α-b
B
√5
COS ∠AOB = cost=
5
∠AB
2√5
sin∠AOB = sin0 =
5
であり, ∠AEB=2∠AOB=20 より, △ABE の面積は
図示すると、次の図のよう
y
// AEBEsin∠A= Izl² sin 20
2
D (ti)
=121212122sincos
B (B)
ら,点Dを点Aを中
=|z|2•sincos
4
=(5√2)². 2√ √5
2/5
5
5
O, B は, 直線 AD
5
4
こがわかる。 これを
〔点E を表す複素数を求める別解1〕
AED=EA=EDまでは本解と同じ)
20
A(α)
E (2)
0
5
+
O
4

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

点Eは、△ABDの外接円の中心です。
だから、EAやEBやEDは半径になるので、すべての長さが等しくなります。
Oも同一円周上にあるので、EOも半径と分かるので、E(z)だから、EO＝|z|となり、他のEA＝EB＝ED＝|z|　になるというわけです。

おにぎり

ありがとうございます！！