Question

kana

sinx=t と置く前の式を微分すると途中でcosxとかも出てくると思うのですが、なぜtと置いたらそのまま微分できるのでしょうか？

基本 例題
225 三角関数の最大・
0000
20≦x<2のとき, 関数 y=2cos 2xsinx+6cos'x +7sinxの最大値と最小値を
求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。
解答
(弘前大
指針 まず, 三角関数の2倍角の公式 cos2x=1-2sin'x, 相互関係 sinx+cosxsu
を利用して,yを1つの三角関数 sinx の式に変形する。
sinx=t とおくと, yはtの3次関数となる。
よって、後は p.350 基本例題 219 (1) と同様に,微分を利用して解く。
なお、おき換えを利用した後は、(おき換えた変数)のとりうる値の範囲に注意
CHART
三角関数のおき換え -1≦sin≦1, -1≦cos≦1に注意
y=2(1−2sinx)sinx+6(1−sinx)+7sinx
=-4sinx-6sinx+9sinx+6
sinx=t とおくと,0≦x<2であるから
-1≤t≤1
y を tの式で表すと, y= -4t-6t2+9t+6であり
y'=-12t2-12t+9
=-3(4t2+4t-3)
2倍角の公式
cos2x=1-2sinx
相互関係
sinx+cos'x=1
◆おき換えによって、 と
基本
例題
(1) 関数 y=
関数 y
(2)
指針 (1)
(1)
(2)
8
C
うる値の範囲も変わる
解答 y
y
C
yatの3次関数
分して増減を調べる。
=-3(2t-1)(2t+3)
y'=0 とすると,-1≦t≦1から
-1≦t≦1におけるyの増減表は
t=
12
17
t-1
...
:
右のようになる。
|1|2|
2
1
3-1/51
17
y'
+
0
2
よってt=1/23のとき最大値
2
|極大
10
t
2
y -517
5
t=-1のとき最小値 -5
2
0≦x<2πから
t=1/2のとき
π
x=
6'
5|6
π
t=1のとき
x=
したがって
π
x=
x=
63256
π
632
で最大値
12で最小値 -5
17
72
11 | sinx=
sinx=1/2から
x=
5
6'6
sinx=-1から
x=
3
練習
③ 225
0sx=2のとき、関数y=2sinxcosx-cosxcos 2x+6.cosx の最大値、乗り
値とそのときのxの値を求めよ。
p.368 EX 143 (114)
(2)
練習
③226

微分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

例えば、y=sin²θをt=sinθとおいたとき、tで微分するとは、
y=sin²θをsinθで微分するということになります。
dy/dsinθ
　=dsin²θ/dsinθ
　=dsin²θ/dθ・dθ/dsinθ
　=2cosθsinθ・(1/cosθ)
　=2sinθ (t=sinθとすると)
　=2t
面倒なので、最初からtに置き換えてtで微分する方が簡単ですね。

GDO

dsin²θ/dsinθ=2sinθ
と気づけば簡単ですが、式が複雑の場合はミスが多くなるので、t=sinθとしておくのがよいでしょう。