Question

@#$&

《費曼物理學講義》數學公式：
請問要怎麼證明有被圈起來的那個公式？

su、乙、w為t的任意函數; a、
函數
s = tn
導數
ds
2-1
dt
ds
du
=
s = cu
C
dt
dt
su+v+w+...
ds
du dv
+
dw
+
dt
dt dt
dt
ds
s=c
= 0
dt
a b c
s = u v w
s=uv
uvow...
ds®
a du
= S
dt
u dt
+
b du
c dw
+
v dt w dt
8-4 距離可視為積分
+

Answer 1

qn

<法一> 乘法定則
(一次只微一項，個別微分再全部加起來)
s' = (auᵃ⁻¹u')vᵇwᶜ⋯ + uᵃ(bvᵇ⁻¹v')wᶜ⋯ + uᵃvᵇ(cwᶜ⁻¹w')⋯ + ⋯
= a(uᵃvᵇwᶜ⋯)u'/u + b(uᵃvᵇwᶜ⋯)v'/v + c(uᵃvᵇwᶜ⋯)w'/w + ⋯
= sau'/u + sbv'/v + scw'/w + ⋯
= s(au'/u + bv'/v + cw'/w + ⋯)

<法二> 對數微分
ln(s) = aln(u) + bln(v) + cln(w) + ⋯
s'/s = au'/u + bv'/v + cw'/w + ⋯
s' = s(au'/u + bv'/v + cw'/w + ⋯)

@#$&

乘法定則也適用於f(x)=a(x)*b(x)*c(x)*……這種f(x)等於多於2個函數相乘的情況嗎？那要怎麼證明？

qn

f'(x) = d/dx{ a(x) · [b(x)·c(x)·d(x)·⋯] }
= a'(x)[b(x)·c(x)·d(x)·⋯]
+ a(x) · d/dx { b(x) · [c(x)·d(x)·⋯] }
= a'(x)b(x)c(x)d(x)⋯
+a(x){b'(x)·[c(x)d(x)⋯] + b(x)·d/dx[c(x)d(x)⋯]}
= a'(x)b(x)c(x)d(x)⋯ + a(x)b'(x)c(x)d(x)⋯ + a(x)b(x) · d/dx[c(x)d(x)⋯]

依此類推

@#$&

依f'(x) = a'(x)b(x)c(x)d(x)⋯ + a(x)b'(x)c(x)d(x)⋯ + a(x)b(x) · d/dx[c(x)d(x)⋯]
可以推得s' = (auᵃ⁻¹)vᵇwᶜ⋯ + uᵃ(bvᵇ⁻¹)wᶜ⋯ + uᵃvᵇ(cwᶜ⁻¹)⋯ + ⋯ 嗎？
為什麼「法一」要寫u'和v'和w'等等？