(2)
x²⁰-1 = (x-1)(x¹⁹+x¹⁸+⋯+x+1)
其中 x¹⁹+x¹⁸+⋯+x+1 代入 x=1 可得 20
由餘式定理可知 x¹⁹+x¹⁸+⋯+x+1 = (x-1)Q₁(x)+20
其中 Q₁(x) 是一個多項式
因此 x²⁰-1 = (x-1) [ (x-1)Q₁(x) + 20 ]
= (x-1)²Q₁(x) + 20(x-1)
同理
x¹⁰-1 = (x-1)(x⁹+x⁸+⋯+x+1)
= (x-1)²Q₂(x) + 10(x-1)
其中 Q₂(x) 是另一個多項式
所以
x²⁰ + x¹⁰ + 2
= (x²⁰-1) + (x¹⁰-1) + 4
= (x-1)²Q₁(x) + (20x-20) + (x-1)²Q₂(x) + (10x-10) + 4
= (x-1)²[Q₁(x)+Q₂(x)] + 30x - 26
(3)
先把次方裡面的多項式作除法
x³+2x+4 = (x+1)(x²-x+3) + 1
兩邊取8次方 ( (a+b)⁸ = a⁸ + 8a⁷b + ⋯ + 8ab⁷ + b⁸ )(x³+2x+4)⁸
= (x+1)⁸(x²-x+3)⁸ + 8(x+1)⁷(x²-x+3)⁷+ ⋯ + 8(x+1)(x²-x+3) + 1
除了最後2項，前面7項都是 (x²-x+3)² 的倍式
所以我們可以只看最後2項
8(x+1)(x²-x+3) + 1
= 8(x³+2x+3) + 1
= 8x³+16x+25
