Question

ハルカツ

どなたかこの問題を解説お願いします🙇
答えはx=a-/a-1、y=a(a-2)/a-1です。

2) αは定数で,a>1 とする. ax+y=2a のとき,10gax+10g(x+y) の
最大値を求めよ.また,そのときのxyの値を求めよ.

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

y＝-ax+2a…①　
真数条件から、x＞0、x+y＞0
これに①を代入して、
x+(-ax+2a)＞0　→　x＞2a/(a-1)　から
0＜x＜2a/(a-1)…②

①を与式に代入して、
log(a)x+log(a)(x-ax+2a)
＝log(a)(x²-ax²+2ax)…※
真数＝x²-ax²+2ax(＞0)
　＝(1-a)x²+2ax
平方完成して
　＝(1-a){x²+2a/(1-a)x}
　＝(1-a){x+a/(1-a)}²-a²/(1-a)
　＝-(a-1){x-a/(a-1)}²+a²/(a-1)
a-1＞0より、グラフは上に凸のグラフになる。また、②の範囲で最大になるのは、軸がx＝a/(a-1)なので、②の範囲内にあることから、ちょうど頂点がそれになる。
よって、x＝a/(a-1)で最大を取ることになるから、最大値は
※＝log(a){a²/(a-1)}
　＝log(a)a²-log(a)(a-1)
　＝2-log(a)(a-1)

ハルカツ

回答ありがとうございます！理解できました！