Question

黎

なんで0<|x|<π/2としていいのか教えてください！

sina
B
の極限
2
前ページで示した2を用いると, 三角関数の極限に関する重要な公
式を証明することができる。
ただし、角の単位は弧度法によるものとする。
sinx
の極限
XC
sinx
lim
=1
x-0 XC
9-1-8-
証明 x→0のときを考えるのであるから,0<x</
としてよい。
[1]0<x<のとき 点を中心とする半径1の円において,
中心角xの扇形 OAB を考える。 点B から OAに下ろした垂線を
BH, 点Aにおける円0の接線が OB の延長と交わる点をTと
すると, AT は OAに垂直で,面積について
AOAB <扇形 OAB < AOAT
BH=sinx, AT = tanx であるから
12/21sinx/121x<1/12
よって
sinx<x<tanx
B
tanx
•1•tanx
sinx
STUZ
←
Tosx
H
各辺を sinx で割ると, sinx>0 で
あるから
1<-
x
<
sinx COS x
sinx
1>.
> COS X
x
sinx
lim
x+0 x
=1
ゆえに
lim cosx=1であるから
x+0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

x→0(x≠0)のため、0の近くを考えればよく、適当な範囲(π/2)を決めても問題はないですよ。
という意味です。幅を狭めておけば余計な説明もいらなくなります。

この証明では使用していませんが、例えば、sinx関数は、xをπ/2の範囲にしておくと、増加だけを考えればよくなります。
また、π/4(sinx<1/√2)やπ/6(sinx<1/2)などにしても問題ありません。

黎

ありがとうございます！
ずっともやもやしてたので助かりました