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平成30年度 第1回定期考査 SS理数数学Ⅰ (理数科1年 ) 1 次の間に答えよ。 (答のみ解答欄に記入する) (1) 次の式を展開せよ。 (+1) (t-1 (2)次の式を因数分解せよ。 6x2+xy-2y2+7x+7y-3 (3)次の循環小数の積を循環小数で表せ。 1.3×0.675 NO.1 H30.5.24 ⑥ aは定数とする。 関数 y=-x-ax+α (0≦x≦1) の最大値を M. 最小値を とする。 (1)M で表せ。 (2)M=5のときの値を求めよ。 (3)m=5のとき, の値を求めよ。 ① 11×4 (4) 次の式を簡単にせよ。 √2-1 √√2 +1 +√6-4√2 +14-3√2| 円 16-31+312-1 2 (3x+2y-1)(2x-y+3) (5) √2018 開平法にて小数第1位まで求めるとになる。 0.900 1 また, 2018 の小数部分をとすると, 82 44 (6) 13%と5%の食塩水を混ぜて400g の食塩水を作った。その濃度 が10%以上であるとき, 混ぜた5%の食塩水は何g以下か。 (5) T 44.9 41 (7)次の方程式を解け。 [x+2|+|x-4|=8 (6) 150 (g) 以下 (7) x=-3,5 (8) 放物線y=2x2+6x+4をx軸方向に♪, y軸方向にgだけ 平行移動し、更にy軸に関して対称移動すると, (8) p=1,g=3 (9) a=-2 放物線y=2x²-2x+3に移った。 定数p, gの値を求めよ。 (10) y=-2x+3x+5 (9) 2次関数y=2x2+3x+a (-1≦x≦1) の最大値が3になるよ うな定数αの値を求めよ。 ② 2×6 (10) グラフが.3点 (1,0), (2,3), (3,-4) を通るような2次 関数を求めよ。 (1) (与式) = (-b+c)a2+(b2-c3)a+bc2-b2c (以下は記述問題) =-(b-c)a²+(b-cxb+c)a-bc(b-c) =-(b-c){a'-(b+c)a+bc} =-(b-cla-b)a-c) =(a-bxb-clc-a) (答) ② 次の式を因数分解せよ。 (1) ab2-c²)+bc2-a²)+α(a²-b2) (2)x+3x4 ③ 実数x, yがx+y= 5, x+y=50 を満たすとき, xy, x2+y2.x'+yの値を求めよ。 44 不等式 6<√3x<√2x+2 ...... ①, x-a|<1......② について以下の間に答えよ。 ただし, は定数とする。 (1) 不等式①を満たす整数をすべて求めよ。 (2) 不等式②を解け。 (3) 不等式①と②を同時に満たす整数が1つだけ存在するような の値の範囲を求めよ。 5 AC=BC=6の直角二等辺三角形ABC の中に、縦の長さの等しい2つの長方形が 右の図のように内接している。 2つの長方形の面積の和の最大値と そのときの長方形の縦の長さを求めよ。 (2)与式)=(x-1)(x+4) .......D ところで x^-1=(x²-1Xx2+1)=(x-1)(x+1)x2+1) x+4=x+4x²+4-4x2=(x+2)-(2x)2 よって①は ={(x+2)-2x){(x2+2) + 2x } =(x²-2x+2)x2+2x+2) (与式) = (x-1)(x+1)x2+1)(x²-2x+2)(x 2 + 2x+2) (答) 〒520 40 B ( )( 番 名前 ( 小計 合計 0
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3 平成30年度 第1回定期考査 SS理数数学Ⅰ (理数科1年) 3x4 x+y=50 から x+y=5を代入すると (x+y)3-3xy(x+ y) = 50 よって 25-3xy=10 53-3xy.5=50 ゆえに xy=5 (答) x2+y2 = (x+y)²-2xy =52-2-5 =15 (答) (x^2+y^)(x2+y^2)=x+y+xyl(x+y) であるから x ' + y' = (x3+y3)(x2+y^)-(xy)(x+y) =50-15-52-5 =750-125 a =625 () NO.2 [5] 右の図のように点D~Hをとり 長方形の縦の長さをxとする。 0 <EC<6であるから 0<2x<6 よって 0<x<3 ····・・ ① ∠CAB= ∠EAD= ∠GDF. ∠ABC= ∠ADE= ∠DFG であるから, △ABC, ADE, DFGは相似で. すべて直角二等辺三角形である。 ゆえに DE=AE=6-2x, FG=DG=x 長方形の面積の和をSとすると S=DE・EC+FG・FH =(6-2x)・2x+x.x =-3x'+12x =-3(x-2)+12 6 (1) 6√3xx> =2√3 √3x<√2x+2 (√3-√2) x<2 2 2 ①の範囲で、 Sはx=2で最大値12をとる。 よって、2つの長方形の面積の和は, 長方形の縦の長さが2のとき最大値12をとる。 [6] (1) 関数の式を変形すると y=-(x+2)²+ a³ (0≤x≤1) [1] 1/2 <0 すなわち 0<a のとき,yはx=0で最大でM=d' H30.5.24 3 [2]12/21 すなわち2SOのとき,yはx=1で最大でM=201 *√3-√(√3 − √2)(√3 + √2) -=2(√3+√2) よって不等式①の解は 2√3<x<2(√3+√2) [3] 1</1/27 すなわち a<-2のとき,yはx=1で最大で [1] M='-a-1 [2] [3] √3 1.7, √21.4 であるから, 2/3 3.42(√3+√2) ≒6.2 以上から、 不等式①を満たす整数は 4, 5, 6 (答) 4 (2) 不等式②は 4 x-a|<1⇔-1<x-a<1 .. a-1<x<a+ 1 (答) 以上より-2 のとき M='-a-1, 20 のとき M=2.0kg のとき M=a(答) (3)不等式②の解に含まれる整数の個数は (i) αが整数nのときは1個 (その整数はn) (ii) aが整数でないとき (n <a<n+1のとき) は2個 (その整数はn, n+1) である。 不等式①を満たす整数は, 4, 5, 6 なので, それぞれの 場合において,αのとり得る値の範囲を求めればよい。 ①と②を同時に満たすただ1つの整数が (ア) x=4のとき, 4 <a+1<5 または a=4のとき すなわち 3<a≦4 のときである。 (イ) x=5のときは, a=5のときである。 (ウ) x=6のとき, 5<a-1<6 または a=6のとき すなわち 6a<7 のときである。 以上から, 求めるαの値の範囲は, 3<a≦4, a=5,6≦a<7 (答) (2) (1)の結果を利用する。 4 [1] a<-2 のとき,M=5から '-a-15 よって 左辺を因数分解して (a+2)(a-3)=0 これらはa<-2を満たさない。 a²-a-6=0 ゆえに a=-2, 3 [2]-2SaS0 のとき,M=5から2d2=5 よって これを解いて a= ±2 a²=4 -2SasO を満たすのは a=-2 [3] 0<a のとき,M=5から これを解いて a=±√5 43=5 [1]~[3] から, 求めるαの値は >0を満たすのは = √5 a=-2,√5 (答) 4(3) (1) 12/21/12 すなわち -1<a のとき,yはx=1で最小でm=d-a-1 [2]-1/2 = 1/2 すなわち a=-1 のとき,yはx=0.1で最小で m=ai-a-l='=1 [3]/一号 すなわちa-1のとき. yはx=0で最小でm=2 (4+2)(a-3)=0 1 <aのとき,=5から α-4-1=5 よって 左辺を因数分解して a=-1のとき,=1 これらは題意を満たさない。 <−1 のとき,m=5から4=5a-1を満たすのは5 以上から 求める」の値は a=-√5.3 (答) a²-a-6=0 1くなので a=3 )組 ( 番 名前(
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平成30年度 数学春季課題テスト ※解答欄に答のみ記入すること。 解答欄 次の式を (1)(x-2y+1)2 (2) (x+1)(x-1)" (3)(xy+1)(x+y-l) (1) (2) x2+4y²-4xy+2x-4y+1 x2x²+1 (4) (+b+c)-(b+c-a)+(c+a-by-(a+b-c 次の式の値を求めよ (3) x2-y2+2y-1 1002-992+982-972+962-95' + 942-932+92'91 ' (4) 次の因数分解せよ。 8ac (1) 5a(a-2b)-b(2b-a) (2)x²-2x+1-4y2 (3) 2x²+5xy+2y-8x-7y+6 (4)-5x2+4 (5) 8x125y 12 955 H30.4.13 実施 13 4次のデータは、ある都市の10日間の日最高気温である。 |(1) (a-2bX5a+b) 32,34,31,32,33,32,34,32, 31, 32 (単位は℃) (1) 平均値を求めよ。 (2) (x+2y-1)(x-2y-1) (2) 中央値を求めよ。 (3) 最頻値を求めよ。 (3) (x+2y-3)2x+y-2) 5 次の表は、あるクラスの生徒10人に対して行われた国語と英語 の小テスト (各10点満点) の得点をまとめたものである。ただし、 小テストの得点は整数値をとり、 CDである。 また、表の数値 はすべて正確な値であり、四捨五入されていない。 (4) (x+1)x-1)x+2xx-2) (5) (2x-5y)4x2+10xy+25g') 生徒 abc bcd e fghij 平均値分散 国語 9 10 4 7 10 5 5 7 6 7 A 英語 9 9 8 6 8 C 8 9 D 7 8.0 B 4 1.00 (1) 32.3 (C)(2) 32 (°C) (3) 32 (°C) (1) 平均値A を求めよ。 (2) 分散Bを求めよ。 5 (1) 7.0 (2) 4.00 (3) 7 (3) 国語の得点の中央値を求めよ。 (5) (C-8)^2+(D-8) の値を求めよ。 (4) C+D の値を求めよ。 (6) D の値を求めよ。 7) 国語と英語の得点の相関係数を求めよ。 ⑥6 15個の値からなるデータがあり、そのうち10個の値の平均値は 9,分散は3, 残り5個の値の平均値は6, 分散は9である。 (1)15個のデータの平均値を求めよ。 (4) 16 16 (5) 2 (6) 7 (7) 0.2 6 (1) 8 7 (2) 15個のデータの分散を求めよ。 学年 80.5点 BESH775 1年 組 氏名 得 点
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平成30年度 第2回定期考査 SS 理数数学Ⅰ (理数科1年) NO.1 ① 右の図は, 2次関数y=ax2+bx+c のグラフである。 次の文字や式の正負を 答えよ。 (1) a, b, c. (2)62-4ac (3) a+b+c A 2 次の問に答えよ。 (答のみ解答欄に記入する) fx-x-2<0 7 次の命題を証明せよ。 H30.7.3 (1) nが整数であるとき, "が偶数ならば,は偶数である。 (2) √2 は無理数である。 8 a, b, c は整数とし, a2+b2=c' とする。 a, b のうち, 少なく とも1つは3の倍数であることを証明せよ。 (解答欄) 1 (1) 連立不等式 を解け。 (x² - x>0 2 (1) a <0 b > 0 c<0 (2)2次関数y=x-2mx+m+2のグラフがある。 このグラフが (2) b2-4ac >0 x軸と共有点をもつような定数の値の範囲はア であり, 2 x軸のx>1の部分と異なる2点で交わるような定数の値の (3) a+b+c0 範囲は イ である。 2 3×10 (1) 1 <x<0, 1<x<2 (3) 関数y=|x2+2x のグラフを利用して, 方程式 x2+2x=kの 実数解の個数が4個となる定数kの値の範囲を求めよ。 (2) T m<-1,2<m 2<m<3 (4) a, b, c, xは実数とする。 次の の中は, 「必要条件であ (3) 0<k<1 る」 「十分条件である」, 「必要十分条件である」 「必要条件でも 十分条件でもない」 のうち, どれが最も適当であるか。 十分条件である 必要条件である (4) (ア)x=2はx2+x-6=0であるためのア 必要十分条件である 必要条件でも十分条件でもない (イ)△ABC∽△PQR は, △ABC=△PQR であるための イ (5)カ {1,4,7,10} 2 {2,6,8} (ウ) a=bはa+c=b+c であるための ウ 34x3 (エ) a > ba² 62 であるための I 逆 x+y<0 ⇒ 「x < 0 または y<0」 (真偽) 真 (5) 10以下の自然数を全体集合とし, 2つの部分集合A,Bを A={3n-2|nは自然数}, B={2n-1|nは自然数}とする。 このとき、次の集合の要素を書き並べて表せ。 裏 「x≧0 かつ≧0」⇒ x+y≧ (真偽) 真 対偶 x+y0x20 かつ20」 (真偽) 偽 (1) AnB (ア) A ③ x, yは実数とする。 次の命題の逆, 対偶, 裏を述べ、それらの真 4 偽を調べよ。 「 x < 0 または y<0」⇒ x+y < 0 分母の1000を素因数分解すると, 1000 = 23.53 なので 分子の自然数が2でも5でも割り切れない数ならば、 分母分子の数は互いに素だから,その分数は既約分数である。 1から999までの整数のうち、 (以下は記述問題) гU(1-999) 2の倍数全体の集合を A. 1 2 3 999 A(2の倍数) B (5の倍数) 4 999個の分数 1000'1000'1000' '1000 の個数を求めよ。 の中の既約分数 5の倍数全体の集合をBとすると, 2でも5でも割り切れない数全体の集合は AUBである。 10の倍数 5の2次不等式 x2-2mx+m +20 について, (1) すべてのxの値に対して、 常に成り立つような定数mの値の範 囲を求めよ。 999 A={2.1, 22, 23, ...) より m (A)= =499 999 B=(5・1, 5.2 5.3...} より(B)= =199 (2)0x5 のすべての値に対して,常に成り立つような定数m の値の範囲を求めよ。 ⑥ xについての2次方程式 3x2+4ax+a2+a=0が,-2<x<1の 範囲に異なる2つの実数解をもつとき, 定数αの値の範囲を求めよ。 また, A∩Bは2と5の最小公倍数10の倍数全体の集合であるから 999 |=99 A∩B=(10.1.10-2, 103, ... より " (A∩B)= | 10 ゆえに n(AUB)=n(A)+n(B)-" (A∩B)=499+199-99=599 従って(AUB)=n(U)-n (AUB)=999-599 400 求める既約分数の個数は400個 (答) )組( ) 番 名前 (
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平成30年度 第2回定期考査 SS理数数学Ⅰ (理数科1年) NO.2 H30.7.3 |5 7 __(1) f(x)=x2-2mx+m+2 とおく。 すべてのxの値に対して, 常にf(x)>0が成り立つ条件は, 1 この命題の対偶は 「nが奇数ならば,'は奇数である」 奇数は n=2k+1 (kは整数)と表されるから ① y=f(x) のグラフが右図のようになればよい。 すなわち, x軸と共有点をもたないので, D<0 01=m²-m-2=(z+1)(m-2)<0 よって-1<m<2 (答) v n2=(2k+1)^=4k2+4k+1=2(2k3+2k)+1 2k2+2k は整数であるからは奇数である。 よって, ① は真であるから, 与えられた命題も真である。 (2) Ox における f(x)=x^2-2mx+m+2 の最小値が正であれば よい。 f(x) を変形すると [1]m0 のとき f(x)=(x-m)2-m²+m+2 f(x)は0≦x≦5で増加する。 したがって, 最小値は f(0)=m+2 よって これを解くと m+2>0 m>-2 -2<m≤0 ...... ① 50であるから [2] 0<<5のとき f(x) の最小値は よって f(m)=m+m+2 m²+m+2>0 すなわち m²-m-2<0 (+1Xm-2)<0 から -1<<2 0cm<2 0<<5であるから [3] 5≦m のとき f(x) は 0x5 で減少する。 したがって, 最小値は f(5)=27-9m よって これを解くと 27-9m>0 m<3 これは5mを満たさない。 以上から, 求めるの値の範囲は、 ①,② を合わせて -2<<2 (答) (2) √2 が無理数ではない, すなわち有理数であると仮定すると √="約分数,m,nは正の整数) 12 と表される。m=√2n と変形し、両辺を平方すると m2=2月2 ...... ② 05 ゆえに、m²は偶数であり, (1) により, mも偶数である。 したがって,m=2k (kは正の整数) と書けて, ②から (2k)²=2n² ゆえに n2=2k2 よって,2は偶数であり,も偶数である。 これは が既約分数であることに矛盾する。 " したがって, √2 は無理数である。 0m 5 [6] f(x) = 3x²+4ax+α+α とし, f(x) = 0 の判別式をDとする。 A 方程式 f(x) =0が-2<x<1の範囲 -2<<1 と表される。 に異なる2つの実数解をもつため の条件は,放物線y=f(x) がx軸 ここで (1)>0 f(-2)>0 の2<x<1の部分と, 異なる2点 で交わることと同じである。 1 0 よって,次のことが同時に成り立つ。 D>0 D ①から a(a-3)>0 ②から -=(2a)-3(a²+α) Vo |S(-2)=42-7a +12 > 0 |f(1)=q²+5a+3> 0 軸について -2</a<1 ....... ④ (a-3Xa-4)>0 a,bはともに3の倍数でないと仮定すると, aとbは 3k+1 または 3 +2 (k, 1 は整数) (3k+1)=3(3k2 +2k) +1, (31+2)2=3(31' + 41 + 1) + 1 2k2+2k, 313+4+1 は整数であるから, 3の倍数でない数a,bの2 乗を3で割った余りはともに1である。 したがって, α+62 を3で割った余りは2である。 ....... ① 一方, cが3の倍数のとき, c2は3で割り切れ, cが3の倍数でないときを3で割った余りは1である。 すなわち, c2を3で割った余りは0か1である。 ...... ② ①,② は α+b2=c2 であることに矛盾する。 よって a<0, 3<a ゆえに, '+b2=c2 ならば, a, b のうち, 少なくとも1つは3の倍 数である。 よって a<3, 4<a ③から a<-5-v13-5+v13 <a 2 ④から2/2ac3 2 -5-√13 0 4 a -5+√13 -5+√13 共通範囲を求めて <a<0 () 2 ( )組 ( ) 名前 (
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平成30年度 第3回定期考査 SS理数数学Ⅰ (理数科1年) NO.1 平均60,0 ① 次の問いに答えよ。 (空欄には適する値 式等を入れよ。) (1) 108 の正の約数の個数はア個あり,また, その中の偶数の (5) 下の図において, 0 を求めよ。 (7) (イ) 約数の総和はイ である。 60" (2)7個の数字0,123456 から異なる5個を使って5桁の 70°C 整数を作るとき, 5の倍数は ア 個あり 54000より大きい整数は 120 B イ 個ある。 (3) 正四角錐の5つの面を, 5色の絵の具を すべて使って塗り分ける方法は何通りあるか。 (4) 12人の生徒を5人,4人,3人の3組に分ける方法は通り あり、3人ずつの4組に分ける方法はイ通りある。 (5) 右のような街路で PからQまで行く 40° 52° A P. C B (6) 図のような直角三角形ABCにおいて, AB=10, BC=8. CA=6である。 三角形の内部に円 0が接し, 辺AB, BC, CAとの接点をそれぞれ D, E, Fとする H30.10.23 ' とき,AD= ア 円の半径はイ B E C △DEF の面積はウである。 (解答欄) ① (3点×1339点) 最短経路のうち, 次の場合は何通りあるか。 (1) (7) 12 (7) R, Sをともに通る経路 R (イ) 印の箇所を通らない経路 (イ 240 (2) (7) 660 (イ) 480 P (6) 赤玉5個, 白玉4個、青玉3個が入った袋から,玉を3個同時に 取り出すとき、次の確率を求めよ。 (3) 30(通り) (ア) 赤玉1個と白玉2個が出る (4) (7) 27720 ( 15400 (イ) どの色の玉も出る。 (ウ) 少なくとも1個は赤玉が出る。 (5) (7) 120 (通り) (イ) 582 (通り) (7) 数直線上を動く点Pが原点にある。 1個のさいころを投げて, 偶数の目が出たら正の方向に 1. 奇数の目が出たら負の方向に1 だけPを動かす。 さいころを8回投げたときのPの座標が2である 確率を求めよ。 3 3 37 (6) (7) (イ) (ウ) 22 11 44 7 32 2 次の問いに答えよ。 (空欄には適する, 式等を入れよ。 ) (1) 右の図において, 次の比を求めよ。 (7) BP:PC (イ) ACOP 2 (2点×12=24点) (1) (7) 3:1 (イ) 2:1 B P (3) 2:3 (2) AB=10,BC= 7, CA =4 である △ABCの内心を1とする。 AI と辺BCの交点をDとするとき, 次のものを求めよ。 (4) (7) 線分 BD の長さ (4) AI: ID (ウ) IBDとABCの面積比 (3) △ABCにおいて, 点 D, Eはそれぞれ 辺BC, CA の中点で, BE // DF である。 (5) (Y) 20° (2) (7) 5 ( 2:1 -1+v5<a<1+v5 1+√5 2 (イ) 36° 5:21 2 24 (6) (7) 4 (イ) 2 (ウ) 5 また, GはADとBEの交点である。 このとき,GE: DF を求めよ。 B D (4)a>0 とするとき、3辺の長さがa, a', ' となる三角形が存在す るのは, '<a< a²+a>a. a²+a² ra 9+03792 <a<のときである。 ] ai_ai_aco を a²-A-10 15 2 ( )( 番 名前 ( 小計 合計 F
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H30.10.23 平成30年度 第3回定期考査 SS理数数学1 (理数科1年) 以下は記述問題 3 AとBがテニスの試合を行うとき, 各ゲームでA, B が勝つ確率 NO.2 4 4個のさいころを同時に投げるとき. 次の確率を求めよ。 (1) 出る目の積が3の倍数(3点) (2)出る目の積が6の倍数(6点) は、それぞれ 03/31/13 であるとする。 3ゲーム先に勝った方が試合の 勝者になるとき, 次の確率を求めよ。 (1) 3勝1敗の成績でAが勝者になる。(3点) (2) Aが勝者になる。 (6点) (1) さいころの目の出方の総数は 6 (通り) 出る目の積が3の倍数でない場合は,4個とも3の倍数でない目 すなわち (1,2,4,5) が出るときである。 (1) 3勝1敗の場合 よって、出る目の積が3の倍数でない確率は 1665 = 3ゲームまでにAが2回, Bが1回勝ち, 4ゲーム目をAが勝てば よいからその確率は したがって、求める確率は 1- 8 × (答) (2)Aが勝者になるのは,次の [1] ~ [3] の場合がある。 [1] 3連勝の場合 その確率は [2]3勝1敗の場合 (1)の結果より (3) = 2 8 27 [3] 3勝2敗の場合 4ゲームまでにAが2回, Bが2回勝ち, 5ゲーム目をAが勝てば (2) 出る目の積が2の倍数になる事象をA, 3の倍数になる事象をB と すると,出る目の積が6の倍数になる事象はAnB である。 いま、出る目の積が2の倍数でない事象は, 4個とも2の倍数でない 34 目, すなわち (1,3,5) が出るときであるから = したがって P(A)=1- 1-16=1/18 ...① U 65 また, (1)の結果から,P(B)= ...② よいから、その確率は 2\/1\22 これらは互いに排反であるから, 求める確率は 8 8 16 64 27+27+81 81 16 ところで, 事象AUB は2の倍数でも 3の倍数でないときであるから, 4個とも {1,5) が出るときである。 PAUB)= == 1 よって RAUB)=1- =81 等式RAUB)=P(A) + (B) P(A∩B) から, P(ANB) = P(A)+P(B)-P(AUB) ① ② ③より求める確率は 15 65 80 325 P(A∩B)= 16 81 81 ? 組( ) 番 名前 (
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平成30年度 第3回定期考査 SS理数数学Ⅰ るやうた (理数科1年) NO.3 H30.10.23 6 △ABCの内心を1とする。 BAC=70° のとき, ∠BICの大きさを求めよ。 (3点) '⑤ 箱の中に1から(213) までの整数が1つずつ書いてあるn枚 のカードが入っている。 この箱から1枚のカードを取り出し, その数 (1) を読んで、元に戻してよくかき混ぜる。 この試行を3回くり返したき。 (2) 取り出したカードに書かれている数の最大値と3つの数の和を考える。 (1)最大値が7になる確率を求めよ。 IBCの外心をDとすると, 4点A, B, C, D は 1 つの円周上 (6点) にあることを証明せよ。 (2)最大値が7であったとき, 和が15である条件付き確率を求めよ。 (3)和が15であったとき, 最大値が7である条件付き確率を求めよ。 (1)4点(2)3点(3)3点) 事象A: 「最大値が7である」 事象B: 「和が15である」 と定める。 (1) P(A)=- 73-6³ 127 127 ... (*) 72 P(A∩B) (2) 求めるべき条件つき確率はP(B)= である。 PA) また, ANB は少なくとも1枚は7を含んでいて和が15になる場合 は順序の入れ替えも考慮して (7, 7, 1)... 3通り (7,6,2)...3!=6通り (7,5, 3)...3!=6通り (7, 4, 4)...3通り であるからRANB)= 3+6+6+3 n³ 18 ...3 ①, ③②に代入して P^(B)=- P(ANB) 18 P(A) 127 (答) P(A∩B) ...④ である。 (3) 求めるべき条件つき確率はP(A)=- P(B) 事象Bの場合の数は3回のカードの数を順に a,b,c と a+b+c=15 @1,621,c≧1 を満たす整数の組数であり a+b+c=12 20,620,620 を満たす整数の組数と一致す る。これは,3種類のものから12個選ぶ重複組合せ H2である ...6 H1=3+1-1C1=uCu=uC2=91 より P(B)=3 91 PA∩B) 18 ⑤ ③に代入して P(A)= = P(B) 内心は角の二等分線の交点なので, ∠B=2∠IBC=2α, ∠C=2ZICB=2β とする。 (1) △ABCにおいて, ∠BAC+2α+2β=180° よって ∠BAC=180°-2a-2β ... <BAC=70°より α+β=55° したがって, IBC において ∠BIC=180°-(a+β)=180°-55°=125° (答) (2) 弧 B1に対する中心角と円周角の関係 から ∠BDI=2∠BCI=2β 弧 CIに対する中心角と円周角の関係 から ∠CDI=2ZCBI=2α よって ∠BDC= ∠BDI + ∠CDI =2a+2β ...② ① ② から ∠BAC+ ∠BDC=180° したがって, 4点 A, B, C, Dは1つの 円周上にある。(証明終) 孤を使うときは、 「優弧「劣弧」という )組( 番 名前(
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SS理数数学Ⅰ 小テスト解説 7個の数字0. 1. 2. 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、次の数 「は何個あるか。 (1) 整数 (54000より大きい整数 (2)奇数 ③ 5の倍数 ( )組 ( ) 番 名前 ( 4 男子8人, 女子6人の中から4人の委員を選ぶとき,次の選び方は何通りあるか。 (1) すべての選び方 (2) 男子2人、女子2人を選ぶ。 (3) 女子から少なくとも1人選ぶ。 (4) 男子、女子から少なくとも1人ずつ選ぶ。 ⑤ 特定の2人A.Bがともに選ばれる。 C (1) 2160 (2)900 (3) 660 (4) 480 (1)の位は0以外の数字1,2,3,4,5,6のどれかで、その選び方は6通り 千百十一の位は残りの6個の数字から4個を選んで並べるから、その並べ方は 通り よって, 5桁の整数の個数は 6x P. 6x6-5-4-3-2160 () (2) 一位は 1.3.5のどれかで 3通り 一位→最大の位 万の位は一の位で選んだ数字と0を除く数字のどれかで、その選び方は 5 千百十の位は残りの5個の数字から3個を選んで並べるから,その並べ方は P, 通り よって5桁の数の個数は 3x5xjPj=3×5×5・4・3=900 (個) (3) 5の倍数であるから,一の位は0か5である。 [1]一の位が0のとき 万千百十の位は残りの6個の数字から4個を選んで並べる。 よって P 360 () [2]一の位が5のとき 万の位は0と5以外の数字のどれかで、 その選び方は 5通り 千百十の位は残りの5個の数字から3個を選んで並べるから sP 通り よって 5x,P, 300 (8) [1] [2] から 5の倍数の個数は 360+300 660 () (4)54000より大きい5桁の整数は, 54ロロロ, 56ロロロ, 600ロロのどれかの形で ある。 口に入る数は 54000 … 0, 1, 2, 3.6から3個を取って並べるから sP2=60 (個) Aは選ばれ,Bは遊ばれない。 記 (1) 1001 通り (2) 420 通り (5) 66通り (6) 220通り (3)931 通り (4) 916 通り (1) 男女合わせ14人から4人を選ぶから 14C 4-3-2-1=1001 (5) 14-13-12-11 (2) 男子8人から委員2人を選ぶ方法は,C2 通り 女子6人から委員2人を選ぶ方法は C2通り よって、求める委員の選び方は jx,C,=271×25=420 (通り) (3) すべての選び方は, (1) から 1001 通り このうち、4人とも男子を選ぶ方法は C 通り よって、 女子から少なくとも1人選ぶ方法は 8.7-6.5 1001,C=1001- =1001-70=931 (通り) 4-3-2-1 (4) 4人とも女子を選ぶ方法は C 通り よって、 男子、女子から少なくとも1人ずつ選ぶ方法は 1001-{sC,+sC)= 1001-(70+,Ca) = 1001-(70+25) =1001-(70+15)=916 (通り) (5) A,Bの2人を先に選んでおき, 残りの12人から2人を選ぶと考えて 12C₂=- 12-11 = 66 (i) (6) Aを先に選んでおき, A, B を除いた12人から残りの3人を選ぶと考えて 56ロロロ 0.1.2.3.4から3個を取って並べるから P₁=60 () 6000 0.1.2.3.4.5から4個を取って並べるから ¡P.-360 (1) よって、54000より大きい5桁の整数の個数は 60×2+360=480 (個) 2 男子5人、女子3人が1列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。 (1) 女子3人が続いて並ぶ (2) 女子は女子 男子は男子で、それぞれ続いて並ぶ ((3) どの女子も隣り合わない (2)1440 通り (3) 14400 通り C= 12-11-10 3.2.1 =220 (通り) 5 12人の生徒を次のような組に分ける方法は何通りあるか。 (1) 5人,4人,3人の3組 (3) 3人ずつの4組 (2) 8人 2人、2人の3組 (1) 27720 通り (2) 1485 通り (3) 15400 通り (1)12人から5人を選ぶ方法は 12C 通り そのおのおのに対して、残り7人から4人を選ぶ方法は,C通り 残り3人を最後の1組とする。 (1) 4320 通り 通り (1) 女子3人を1組と考え、この1組と男子5人 の並び方は 男男女女女男男男 よって。 求める分け方の総数は 12Cs X7C == 27720 (通り) (2)12人から8人を選ぶ方法は 2C通り 残りの4人を2人ずつの2組に分ける方法は,まず, A組に2人, B組に2人となる ように分け, AとBの区別をなくせばよいから そのおのおのに対して、 女子3人の並び方は 3. 通り よって, 求める並び方の総数は 6!×3! =6・5・4・3・2・1×3・2・1=4320 (通り) (2) 男男男男男女女女女女女男男男男男の2通りの場合がある。 そのおのおのに対して、 男子5人の並び方は 5!通り。 通り よって, 求める分け方の総数は 12C₁ =Cx=1 =1485 (通り) 女子3人の並び方は3! 通り (3) 12人を3人ずつA, B, C, Dの4組に分ける方法は ここで CXCxC, 通り 通りずつできるから の区別をなくすと同じ分け方が4! よって、 求める並び方の総数は CxCxC 2x5!×3!=2×5・4・3・2・1×3・2・1=1440 (通り) =15400 (通り) 4! (3) どの女子も隣り合わないようにするには, まず男子5人を1列に並べて, その間か両端 〇男男男男男〇 〇の箇所に女子を並べる) 6 SUCCESS の文字を1列に並べる。 (1) 異なる並べ方は何通りあるか。 の6か所に女子3人を並べればよい。 まず, 男子5人の並び方は 5!通り そのおのおのに対して、 男子と男子の間か両端の6か所に女子3人を並べる方法は P2通り (2) U.Eがこの順にある並べ方は何通りあるか。 (3) 2つのCが隣り合わない並べ方は何通りあるか。 (2) 420 通り (2) 210通り (3) 300 通り (1)Sが3個、Cが2個, U. Eが1個ずつあるから,この文字の並べ方は よって, 求める並び方の総数は 5!×P=5・4・3・2・1×6・5・4=14400 (通り) ③ (1) 正四角の5つの, 5色の絵の具をすべて使って塗り分け る方法は何通りあるか。 (2) 立方体の6つの面を, 6色の絵の具をすべて使って塗り分ける 方法は何通りあるか。 解 (1) 30通り (2) 30通り (1) 底面の色の決め方は 5通り そのおのおのに対して、側面の色の決め方は,残り4色の円順列であるから (4-1)!通り よって, 求める塗り分け方は 5×(4-1)!=5×6=30 (通り) (2) 1つの面の色を固定する。 その対面の色の決め方は 5通り その2面の塗り方のおのおのに対して、側面の色の決め方は,残り4色の円順列である から (4-1)! 通り よって、 求める塗り分け方は 5x(4-1)!=5×6=30 (通り) +1- =420 (通り) 3!2! (2) U, Eを同じ文字〇と考え, 2個, S3 C2個の順列を作り, 〇に左からU. Eを順に入れると題意の並べ方になる。 よって 7! -=210 (通り) 2!3!2! (3)2つのCが隣り合うのは、2つのCを1文字口で表すと, S3つ, U, E. 口を並べ ると考えて =120 (通り) よって、 2つのCが隣り合わない並べ方は 420-120=300 (通り)
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SS理数数学Ⅰ小テスト解説 170 次の条件を満たす整数(x,y,z)の組は何個あるか。 (1)x+y+z=9z,y,zは0以上の数 (2) x+y+2=9 (1) 55 (2) 28 2は自然数 (1)例えば,x=1,y=3, z=5に,xを1個,yを3個を5個取ることを対応させ ると,等式を満たす(x,y,z)の組の個数は、yの3個から重複を許して9個取 る組合せの数に等しい。 よって、求める整数の組の個数は140-1C=C=nG=12310 x+y+z=9.20.20.20 この条件を満たす整数(x,y,z)の組は、9個の○と2つの仕切りの順列を作り、仕切 りで分けられた3か所の○の数を、左から順にとすると得られる。 よって、求める整数の組の個数は11C=u1C2=12:10 11-10 55 ( (2)x1=X, y-1=Y, 2-1=Z とおくと また、x+y+z=9から (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=9 よって X+Y+Z=6 これを満たす0以上の整数組 (X,Y,Z) X, Y, Zの3個から重複を許 して6個取る組合せの数に等しい。 よって求める組の個数は -C=C=,C2=27=28個) X+Y+Z=6 を満たす(X, Y, Z)の組の個数は、(1)のと同様に考えて 8.7 G===28 (8) 8 右の図のような街でPからQまで行く最短経路の P. うち、次の各場合は何通りあるか。 (1)総数 (3) R.Sをともに通る (2) R (4) RまたはSを通る経路 (5) R.Sを 通らない (6) 印の所を通らない経 R S (1) 462 通り (2) 210 (3)72通り (4) 278通り (5) 184 通り (6) 362通り (1)右に1区画進むことを→ 下に1区画進むことを ↓で表すとPからQに行く最 短経路の総数は6個のと5個の↓ を1列に並べる順列の総数に等しい。 11! よって =462(通り) 615! 4! (2) PからRまで行く経路は 通り 2!2! 7! RからQまで行く経路は 通り 4!3! 4! 7! よって,R を通る経路は 210(通り) 2!2! 4!3! (3) PからR まで行く経路は 通り 2!2! RからSまで行く経路は 通り 4! SからQまで行く経路は 通り よって, R. Sをともに通る経路は x -=72- 2!2! 7! (4) PからSまで行く経路は 通り 3!4! 7! よって,Sを通る経路は x -=140 (通り) 3!4! (2)、(3)の結果から, RまたはSを通る経路は (Rを通る経路の数) + (Sを通る経路の数) - (R, Sをともに通る経路の数) =210+140-72=278 (通り) (5) R.Sをともに通らない経路の数は,(1)の経路の数から、(4)の経路の数を引いて 462-278184 (通り) <(6) 印の区間の左端を A. 右端をBとする。 P. A IB 5! PからAまで行く経路は 通り 3!2! 5! BからQまで行く経路は よって、×印の箇所を通る経路は 5! 3!2! 通り 2!3! 5! ×2!3! =100 (通り) したがって, x印を通らない経路は 462-100=362 (通り)
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SS理数数学Ⅰ確認テスト1解説 I組 ( )番名前 ( ) 次の式を因数分解せよ。 (1) (x+y+2)(x+y− 3)+4 (2) 12x²+xy-6y²-31x-2y+20 (3) x6 - y6 (解説) (1) 4x=(x+y)² - (x + y) −6 + 4 = (x + y)² - (x + y) −2 =(x+y+1)(x+y-2) (2) 与式=12x2+(y-31)x-2(3y2+y-10) =12x²+(y-31)x-2(y+2)(3y-5) =(3x-2(y+2)}{4x+(3y-5)} =(3x-2y-4)(4x+3y-5) (3) = (x³)² - (y³)² = (x³ + y³)(x³ — y³) =(x+y)(x² − xy+ y²)(x − y)(x²+xy+ y²) = (x + y)(x − y)(x² −xy+ y²)(x² + xy + y²) [参考] x-y=(x2)3-(y2)3に着目して,次のように因数分解してもよい。 5x=(x²)³ — (y²)³ = (x² — y²)(x² + x²y²+ y¹) =(x+y)x− y){xª+2x²y²+y¹ − x²y²} =(x+y)x− y}{(x² + y²)² −(xy)²} =(x+yXx − y){(x² + y²)+ xy}{(x² + y²) − xy} =(x+y)(x − y)(x²+xy+y²)(x² − xy+ y²) 1 1 2x= y= のとき, の値を求めよ。 2+√3' 2-√√3 2+ y² (解説) 1 x= 2+√√√3 2-√3 (2+√3)(2-√√3) =2- -√3 1 2+√√√3 =2+√√√3 y= 2 - √3 = (2-√3 (2 + √3) よって ゆえに したがって x+y=(2-√√3)+(2+√3)=4, xy=(2−√3)(2+√3)= =1 x²+ y² = (x + y)² −2xy=42-2.1=14 x³+ y³=(x + y)³ −3xy(x+y)=4³ −3·1.4=52 52 26 == 14 採点者氏名 ( -1-
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SS理数数学Ⅰ 確認テスト2解説 Ⅰ組( 番名前( ) ある放物線を,x軸方向に -1, y軸方向に3だけ平行移動し、更にx軸に関して対称 移動すると,放物線y=x2-6x+7に移った。 もとの放物線の方程式を求めよ。 (解説 求める放物線は,放物線y=x2-6x+7 をx軸に関して対称移動し、更にx軸方向に 1, y 軸方向に3だけ平行移動し たものである。 まず, x軸に関して対称移動すると -y=x2-6x+7 すなわち y=-x2+6x-7 次に,x 軸方向に 1, y 軸方向に3だけ平行移動すると y-3=-(x-1)2+6(x-1)-7 よって y=-x2+8x-11 (答) 2 aは定数とする。 関数 y=-x-ax+a (0≦x≦1) の最大値をMとする。 (1) M を で表せ。 解説 (2)M=5のとき, a の値を求めよ。 (1) 関数の式を変形すると y=-(x+2)² + a² (0≤x≤1) [1] 12 <0 すなわち 0<a のとき,yはx=0で最大となるから M= a² [2] すなわち−2≦a≦0 のとき,yはx=-" で最大となるから 5 M=202 [3]1<- // すなわち a<-2 のとき,yはx=1で最大となるから M=α2-a-1 [1] [2] Q2 [3] I A L a O 1 x a 2 以上より a< -2 のとき M=a-a-1, -2≦a≦0 のとき M= aa, a のとき M=a2 (答) (2)(1) の結果を利用する。 [1] a<-2 のとき,M=5から a2-a-1=5 よって a2-a-6=0 ゆえに a=-2,3 (a+2)(a-3)=0 左辺を因数分解して これらはa<-2を満たさない。 [2] -2≤a≤0 のとき,M=5から2=5 よって a2=4 これを解いて a=±2 −2≦a≦0 を満たすのは a=-2 [3] 0<a のとき,M=5から これを解いて a=±√5 a²=5 [1]~[3] から, 求めるαの値は >0を満たすのはa=√5 a=-2, √√5 (答) 採点者氏名 ( -1-
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演習解答 (平面図形) 下の図において, BP: PCを求めよ。 (1) (1) 3:8 2 10:7 -(1) チェバの定理により BP CQ AR ( )組( ) 番 名前 ( ) (1) 1辺の長さが7の正三角形ABCがある。 辺 AB AC 上に AD=2, AE4となる ように2点D.Eをとる。 このとき、 BE と CD の交点をF. 直線AFとBCの交 点をGとする。 CGの長さを求めよ。 (2)三角形の3つの角の二等分線は1点で交わることをチェバの定理のを用いて 明せよ。 C (1) (2) (1) CGとすると BG7-x BG CE AD チェバの定理から GCEA' DB-1 7- 3 よって 21-3x-10x よって って PC QA RB-1 BP 4 BPPC 3:8 (2) チェバの定理により BP CQ AR = PC QA RB BP 17 よって したがって BP:PC=10:7 2 下の図において,yを求めよ。 (1) (1) 9:4 (2) 2:1 ゆえに BP ゆえに (2) (1) ABCと直線PRにおいて, メネラウスの定理により よって =1 AR BP CQ RB'C'QA - ゆえに したがって x : y=9:4 (2) APBCと直線AR において、 メネラウスの定理により よって したがって x : y=2:1 3 右の図において、次の比を求めよ。 (1) BP: PC (2) AO: OP ゆえに =2 =1 よって213 すなわち CG=13 (2) △ABCにおいて A B の二等分線と対辺 BC, CA, AB の交点をそれぞれD,E,Fとする。 ADは ∠Aの二等分線であるから AB BD AC-DC D BEはBの二等分線であるから BC CE BATEA ....... 2 CFは∠Cの二等分線であるから = FB 1. . . BD CE AF AB BC CA DC'EA' FBACBA'CB ゆえに、チェバの定理の逆により, 3直線AD, BE, CF, すなわち3つの内角の二 等分線は1点で交わる。 6 △ABCにおい辺ABを2:5に内分する点をD AC3:2に内分する点をE とする。 直線DEとBCの交点をPとするとき, BP: PCを求めよ。 また。 DP: PEを 求めよ。 CBP: PC-15:4, DP: PE=25:14 (12) (前半) △ABC と直線 DEP について。 メネラウスの 定理から AD BP CE DBPC'EA =1 よって したがって、 BP:PC=15:4 (後半) APDB と直線AECについて, メネラウスの 定理から PE DA BC ED'ABCP=1 PE 2 *2+5. 2751 よって = したがって, DP:PE = (14+11):14=25:14 7 △ABCの3辺 AB, BC, CA を3:1に内分する点をそれぞ D,E,Fとし, CD と BF, AE と CD, BF と AEの交点 それぞれ P,Q,R とするとき. △PQRとABCの面積 の比を求めよ。 E (1) 3:1 (2)2:1 (1) △ABCにチェバの定理を用いて BP CQ AR PC QARB=1 BP:PC=3:1 よって 器号=1 (2) ABP と直線RCにメネラウスの定理を用いて AR BC PO RB CP OA =1 (1)より,BC:CP=4:1であるから400=1 したがって AO: OP =2:1 4:13 △ABE と直線 CD にメネラウスの定理を適用するとC=1 ゆえに 器-1 =1 よって AQ: QE=12:1 ゆえに AAQC AAEC 1/1△ABC=1/3A 同様にしてABRA=△CPB= 1/3△ABC AABC 44 △ABCの辺AB, AC上にそれぞれD,E, 正の数としてAD:DB=1:1, AE: EC=1:(1+1) となるようにとり, BE と CD の交点とAを結ぶ直線がBCと交わ る点をF とおく。 このとき, AFが△ABCの内心を通りかつAC=12ABを満たすよう の値を定めよ。 3 AFがABCの内心を通るとすると ∠BAF = ∠FAC ゆえに BF: FCAB: AC さらに AC = 12AB を満たすとすると BF:FC=AB:12AB=1:12 よってAPQR=△ABC-(△AQC+△ABR + BCP) = 13 △ABC したがって △PQR: △ABC=4:13 ⑧ △ABCの辺BC. CA, AB上にそれぞれ点P,Q,R があり3直線AP, BQ, CR が1点Tで交わってい また, AR: RB=2:1. BP:PC=13である。 このとき、チェバの定理により CQ:QA アイである。 また, ABT BRTウ ・・・・・・・ ①である。 CA:CQオカ であるから, メネラウスの定理により BF CEAD ここでチェバの定理により FC EA DB であるから=1 よってド+f-12=0から (+4)(1-3)=0 これを解くと,10から13 BQBT キク:ケである。 よってABQ △ABT = コサ ER, AABC: AABQ-x シ...... ②である。 ① ② ③ から △ABC BRT フタ (ア)(イ) 3:2 (コサ) (シ) 11:5 ......である。 (ウ):(エ) 3:1 (ス) (セ) 5:2 チである。 (オ) (カ) 5:3 (キク) (ケ) 11:5 (ソタ) (チ) 33:2
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演習解答 (平面図形) ( )組( ) 番 名前 ( △ABCについて, チェバの定理により AR BP CQ RB PC GX = 1 すなわち 11.00-1 よって ゆえに CQ:QA-3:2 また AB: BR-3:1であるから AABCの内心を通り、辺BCに平行な直線と AB ACの 交点をP,Q とするとき、 PQ=PB+QC が成り立つことを 証明せよ。 ) AABT ABRT 3:1 よって AABT 3ABRT CQ:QA3:2 から CA:CQ=5:3 よって このとき、ABQについて、 メネラウスの定理を用いると RB TO AR BT QC 2. BT すなわち ゆえに BC/PQ であるから BT 5 よって TQ ゆえに BQ BT-11:5 4439) AS CEED BC/PQ であるから 1はABCの内心であるから <PIB=∠PBI よって PBP1 ① 1は△ABCの内心であるから ∠P1B ZIBC <PBI=IBC ZQICLICB ZQCIZICB したがって よって AABQ: AABT-11:5 2 AABQ-4AABT よって ゆえに ZQICQCI QCQ1 QY 更に、 AC: AQ5:2から △ABC AABQ-5:2 よって AABC= AABQ... ①から ABC-ABRT ①+② から PB+QC=PI+QIPQ PQ=PB+QC AB=10. BC-7. CA4である△ABCの内心を1とする。 AIと辺BCの交点をD とするとき 次のものを求めよ。 (1) 分 BD の長さ (2) A1ID ゆえに △ABC ABRT-33:2 (3) IBD と△ABDの面積比 (4) AIBD と △ABCの面積比 ABCの外心を心を内心を1とする。 下の図の角αを求めよ。 (1) CH (1) 5 FED (2) 2:1 (3) 1:3 (4) 5:21 (3) AAA (1) a=35"8=34" (2)=30° β=120° (3) a 125 (1) Oは△ABCの外心であるから OAOBOC よって、 OCAはOA =OCの二等辺三角形であるから Iは△ABCの内心であるから, 3つの内角の二 等分線の交点である。 (1) △ABCにおいて, ADは∠Aの二等分線で あるから AB: AC=BD:DC すなわち よって 10:4=BD: (7-BD) 107-BD)=4BD これを解いて BD=5 (2) ABD において BIはBの二等分線であるから BA: BDAI:ID よって ∠OAC= ∠OCA すなわち a=35° 同様に, AOAB は OA = OB の 三角形AOBC はOBOCの二等辺三角形であるから、右の図のよう になる。 △ABCの内角の和は180°であるから 2x35° +2×21°+2x6=180° AI:ID=10:5=2:1 (3) IBD △ABDは底辺をそれぞれID, AD とすると, 高さが等しいから △IBD △ABD=ID:AD=1:3 (4) ABD と △ABCは辺をそれぞれ BD, BC とすると,高さが等しいから AABD AABC BD BC-5:7 このことと (3) から AIBD AABC=5:21 [13] AB=AC=9, BC6 である △ABCにおいて, 重心をG, 内心を 1, 外心を0とする ウエ カキ AO= であ よって =34° (2) 右の図のように, BH の延長と辺 CAの交点をD. CHの延長と辺 ABの交点をEとする。 Hは△ABCの心であるから よって CELAB, BDICA ∠AEC=90° ∠BDC=90° △AECの内角の和は180° であるから ゆえに 60° + 90° + α = 180° a=30° また, △CDHにおいて、頂点における外角は∠C と D の和に等しいから β=a+90° よって =30°+90°=120° (3) ∠B=221BC, <C=2ㄥICB であるから, △ABCに おいて よって 70°+2<IBC+2ZICB=180° _∠IBC+ ∠ICB=55" したがって IBCにおいて a=180-(IBC+ ZICB) =180°-55°=125° とき,AG= アイ, AI = オ る。 (ア)(イ) 4√2 (ウ)(エ) 9.2 (カキ)) 27 (オ) (ケ) C △ABCはAB=AC=9の二等辺三角形である。 よって, 点Aから辺 BC に AHを引くと, HはBCの中点 である。 △ABHにおいて, 三平方の定理により AH=√92-3F=√72 =6/2 AG: GH=2:1 であるから AG=AH=×6√2=4√2 AHは∠Aの二等分線であるから, 内心はAH 上にある。 B1は∠Bの二等分線であるから AI IH=AB BH 図のような △ABCがあり、 その面積は12である。 辺 BC, CA の中点をそれぞれ M, Nとし, AM と BN の交点をPとするとき、 四角形 PMCN の面積を求めよ。 4 AF20 ABCN=1/2ABC=1/2×12=6 Pは△ABCの重心であるから AP: PM2:1 よって APBM AABM-AABC-×12=2 ゆえに 四角形 PMCN=ABCN-△PBM =6-2-4 M =9:3 =3:1 よって AI=2AH=24×6 -9√7 AHは辺BCの垂直二等分線であるから, 外心0 はAH上にある。 AOR とすると BO=R. OH-6√2-R AQBHにおいて、 三平方の定理により R'= (6√2-R)+3 整理すると 12R=81 8127√2 よって R= 12/2 すなわち AO = 27/2 B 3 H 3 C 3 H 3 B 3 H 3 C
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演習解答 (平面図形) 3辺の長さがx. +1.3である三角形が存在するようなェの値の範囲を求めよ。 また、 この三角形が直角三角形になるときのェの値を求めよ。 ( )組( ) 番 名前 ( ) AABCの内部の1点をPとするとき, AB+AC PB+PCであることを証明せよ。 {M} x>1;x=4, -1+√7 (前半) 3辺の長さが +1.3である三角形が存在するための条件は [x(x+1)]<3<x+(x+1) すなわち 1 <3<2x+1 13は常に成り立つ。 32x+1から x>1 よって、求めるの値の範囲は x>1 P (後半) <x+1であるから、直角三角形となるのは次の(1),(2)のどちらかである。 [1] 長さ+1の辺が斜辺になる場合 三平方の定理から x'+38m (x+1)8 整理すると 2-8=0 よって x=4 WER 線分 BP の延長と遊ACの交点をDとする。 △ABD において AB+AD> PB+PD ...... ⓘ ADPCにおいて DC+PD>PC ...... 2 ①、②から (AB+AD)+(DC+PD)> (PB+PD)+PC よって AB+AC>PB+PC AABCの辺BCの中点をMとするとき, AB+AC 2AM であることを証明せよ。 これは①を満たす。 [2] 長さ3の辺が斜辺になる場合 三平方の定理から x'+(x+1)=38 線分AM の延長上に AMMD となる点をとると AD 2AM D 整理すると 2x'+x-4)=0 これを解いて x=-1+√17 ①を満たすのは x=-1+√17 BDAC ② 点Mは線分AD, BCをそれぞれ2等分するから、 四角 形ABDCは平行四辺形である。 よって B C したがって、求めるxの値は x=4. -1+√17 △ABDにおいて AB+BDAD ...... 3 ①.②をに代入して AB+ AC>2AM 3辺の長さが1.2x+1.1である三角形を作ることができるようなxの値 の範囲を求めよ。 2 AABCの3つの中線をAD, BE, CF, 周の長さを とする。 このとき <AD + BE+ CF であることを証明せよ。 x>1 3辺の長さがx+x+1.2x+1.1である三角形を作ることができるための条件は、 3つの不等式 (x'+x+1)+(2x+1)>s-1 (2x+1)+(x-1)x+x+1 ② (x-1)+(x'+x+1)> 2x + 1 ... ② が同時に成り立つことである。 3x-3 x>....... ② ①から ②から ②から 2x-x-1>0 よって x-1 ...... FED 中線 AD, BE, CFについて 次の不等式が成り立つ。 2AD <AB+CA. 2BE <BC+AB, 2CF <CA+BC 辺々を加えて2で割ると AD+BE+CF <AB+BC+CA すなわち AD+BE+ CF < ...... また, ABCの心をGとすると,Gは△ABCの 内部にあるから BC<BG+CG, CA<CG+AG, AB <AG+BG 辺々を加えて BC+CA+AB <2AG+BG+CG) よって (x-1)(2x+1)>0 これを解くと x<-2121 <x... y よく ①.②.③の共通範囲を求めて >1 6 2点A,Bと直線が右の図のようにある。上の点P AP+PBが最小となるように取りたい。 HPがいくら になるように点を取ればよいか。 HP6 ただし, 点Pは線分 HK 上) に関して, A と対称な点をA' とすると AP+PB=A'P+PB したがって, A'P+PB の最小となるPをとればよい。 直線ABとの交点を P とすると AP+PBAP+P,B = A'B よって, A'Bが最小となる。 AA'HP,ABKP, +5, HP: KP = A'H: BK=4:6=2:3 ゆえに、HP=15×25= =6 A' ---15----* したがって, HP=6 となるように点Pを取ればよい。 ABACである△ABCにおいて,辺BC上に点 B. Cと異なる点Pをとる。 このとき, AP<ABであることを証明せよ。 △APC において よって ∠APB= ∠C+ ∠CAP <C<∠APB • D △ABCにおいて, AB AC から ①.②から <B<<C ..... ② <B< ∠APB したがって, ABPにおいて AP <AB =2. (AD+BE+CF) よって <AD+BE+CF ①②から <AD + BE+CF <l
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演習解答 (平面図形) 21 下の図において、αを求めよ。 (1) 70% C (1) a=20 (2)70°* (1) 対角線 AC. BD の交点をEとする。 △ABEにおいて ∠ABE=180°- (60°+70% 50° したがって ∠ABD=∠ACD=50 であるから、4点A, B, C. Dは1つの円周上にある。 CDに対する円周角は等しいから a=∠DBC20 ②2) <BEC=∠BDC-90" であるから、 4点 E. B, C, Dは点を中心とする1つの円周上にある。 よって ZEBD 3D=123<EMD=123×40-20° △ABD において a=180(20°+90% 70° BDIAC, CE1AB Mは辺 BCの中点 )組( 番 名前 ( ) 24 四角形ABCD が円に内接するとき、対角線 BD 上に <BAE= ∠CAD となるような点 Eをとる。 次のことを証明せよ。 (1) AABE AACD (2) AABCAAED (3) AB・CD+BC・DA=AC・BD (トレミーの定理) (1) CEL (3) A (1) ABE ACD において ∠BAE=∠CAD, ∠ABE ∠ACD よって AABEAACD (2) ∠BAC∠BAE+ ∠EAC = ∠CAD+∠EAC∠EAD △ABCと△AED において <BAC=∠EAD, ∠ACB=∠ADE よって △ABCAAED (3)(1)から AB: BE = AC:CD よって AB・CD=AC・BE ...... ⓘ (2)から BC: CAED: DA よって BC・DACA・ED ...... ② ①と②の辺を加えて AB・CD+BC・DA=AC・BE+CA・ED =AQBE+ED)=AC・BD 22 BC=9. CA=6である △ABCにおいて, BC を直径とする 円O と AB, ACの交点をそれぞれD, Eとする。 BA/OE であるとき、線分BDの長さを求めよ。 26 ∠C=90°, BC=3, AC=4である直角三角形ABCに内接する 円の半径を求めよ。 C7 OE/AB, CO: OB=1:1であるから CE: EA =1:1 よって EA =3 四角形 BCED は円に内接しているから だから ∠OCE=∠EDA OE/AB であるから 0 ∠OEC= ∠EAD したがって よって、2組の角がそれぞれ等しいから, AOCEとAEDAは相似である。 OE: EA=CE DA OEは半円の半径であるから 1 : 33: DA すなわち DA=2 OE: BA=1:2であるから よって BA=9 BD=9-27 0 △ABCは直角三角形であるから AB=BC' + AC=√3+48=125=5 三角形に内接する円と辺 AB, BC, CA との接点を それぞれ P. Q. R とする。 CQ-CR, AP-AR. BP=BQであるから AP=AR=4-1. BP=BQ=3-7 AP+BP=ABより (4)+(3)=5 これを解いて r=1 ABCは直角三角形であるから AB=BC' + AC = √3+4= √25 = 5 内接する円の中心を0とする。 △ABC=△OAB + △OBC + △OACより 1/2×3×4=1/2x5x1+1/3×3×1+1/2x4xr 6=6r すなわち よって y=1 23 右の図のように、鋭角三角形ABCの外側に, 正三角形 DBA, ECB FACを作る。 BF と CD の交点をPと するとき 4点P, B. E, Cは1つの円周上にあること を証明せよ。 26 図のような直角三角形ABCにおいて, AB=5, BC=4, CA=3である。 三角形の内部に円が接し, 辺AB, BC, CA との接点をそれぞれ D. E, Fとするとき, で、 △DEF の面積は AD= △ADCと△ABF において である。 0- また よって AD=AB, AC=AF ∠DAC= ∠DAB+ ∠BAC=60° + ∠BAC ∠BAF∠BAC+ ∠CAF = ∠BAC+60° ∠DAC= ∠BAF これより2辺とその間の角がそれぞれ等しいから AADC=AABF したがって, ∠ADP= ∠ABP であるから, 4点 A, D. B, Pは1つの円周上にある。 よって, <DPB= ∠DAB=60 であるから ∠BEC= ∠DPB 四角形 PBECにおいて. 外角∠DPBが隣り合う内角の対角 BECに等しいから 四角形 PBECは円に内接し、 4点 P, B, E, Cは1つの円周上にある。 (ア) 図において, AD=x とおくと BE=BD=5-x また, AFx で, CECF=3-xとなるから (5-x) + (3-x)=4 これを解いてx=2 したがって AD=2 △BDE=6x =6×× ×4×3=6から (イ)△ABC=123×4× よって △ADF=6x ACEF=6> xx=号 6- (++)- ADEF 6-
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演習解答 (平面図形) 27 下の図において、を求めよ。 ただし、 0は円の中心、PTは円ので、Tは 接点である。 CE (1) (3) ( )組 ( )番 名前 ( CDA, ∠CEAは半円のに対する円周角であるから 790° BE とすると, AEB, AECにおいて三平方の により AE-7-D AR(3/6)-(5-x) 49-x-54-(5-x) よって これを解くと x-2 ここで、べきの定理より ゆえに BD・BABE・BC BE 2 10 13x=10 すなわち BD-7-2-5 よって BD= ここで より AE'7'-2'45 AE > 0 であるから AE=3√5 ここで、<BEF∠BDF=90" であるから よって、 4点 B, D. F. “E は一円周上にある。 ゆえに、方べきの定理より ∠BEF + ∠BDF180° AF・AEAD・AB すなわち AF-35-7-12) これを解くと AF * 13/5 よって EF=AE-AF=3√5-135 *2√5 ゆえに, BEF において三平方の定理により BF N √2²+(2√5)=√√22√30 (C20) (1)√5 2x==√21 (1) 右の図において、方べきの定理により (3-x) (3+g)=1.4 式を整理して x²-5 x>0より 1=√√5 (2)方べきの定理により (3)x+3)=2·(2+4) して x>0より x³-21 x=√2T きの定理により (x8)(x+8)=6 (3) 式を整理して x'=100 x>0より x=10 26 下の図において、yの値を求めよ。 (1) (1) 6. y=3 (2) x=6, y=4 (1) 右の図のように点を定める。 <BCD=∠CAD から ABCD ACAD よって BD BC=CD CA (2) 01 0 2:y=4:6 よって y=3 また BD:CD=CD: AD 2:4=4: (x+2 2x+2)16からx=6 (2) 方べきの定理により x=y(y+5) 63y(y+5) P ② ①、②により=63 > 0からx=6 ②から+5y-36=0 (y+9(-4)=0>05 y=4 A 30 半径20円の内部の点Pを通る弦ABについて, PA・PB=1のとき、 分OPの長 さを求めよ。 COP √√3 COVER 右の図のように,Pを通る直径をCD とすると. 方べきの定理により PC・PD=PA・PB=1 よって (OC-OPOD+OP)=1 すなわち ゆえに よって (2-OPX2+OP)=1 4-OP'=1 OP2-3 OP>0であるから OP=√3 31 右の図において, 直線ABは0.0' にそれぞれ 点 A, Bで接している。 また, 20, O'は外 している。 円の半径が9 の半径が4であ 0′ るとき、 線分ABの長さを求めよ。 12 E 点O' から OA 線OH を下ろすと, 四角形 AHO'Bは長方形となり AB=HO' 3辺の長さがAB=7. BC=5, CA=3√6 である三角形ABCにおいて, 辺 AC を直径 とする円が辺AB, BC と交わる点をそれぞれD,Eとし, CD と AEの交点をFとす るとき、線分 BFの長さを求めよう。 よって HA=O'B=4 OH=OA-HA=94=5 また, 20.0' は外接しているから 00'=9+4=13 直角三角形OO'Hにおいて, 三平方の定理により HO'=√OOOH'=√13°-5=√144=12 ゆえに ① から AB=12 <CDA= ∠CEA= であるから, AEB, AECにおいて、 三平方の定理を 適用すると BE=" よって、 方べきの定理により BD= また AE= ここで、4点B, D.F. は同一円周上にあるから,方べきの定理より AF= よって, EF= であるから, 三平方の定理により BF= (カ) ( 90 (イ) 2 (1) 10 (x) 3√5 (*) E 13√5 2√30 (4) 2√5 (7)
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演習解答 (平面図形) 32 右の図において、直線は点 A. Bで、 直線は点C.Dでそれぞれ円 0.0' に接し、とは点Eで交わっている。 円の半径は 10. 円 0′ の半径は6, 中 心間の距離 00'20である。 (1) ABの長さを求めよ。 品 D (2) CD の長さを求めよ。 (3) BE の長さを求めよ。 (1)12 (2) 86 (3) 4/6-6 (1) 下の図のように,点0' から OAの延長に線 O'Hを下ろす。 四角形ABOHは長方形であるから よって AB=HO' HA-O'B=6 ① ED OH=OA+HA=10+6=16 直角三角形OO'Hにおいて、 三平方の定理により HO'DOOH=202-16-14412 ゆえに、①から AB=12 (2) 下の図のように,点O' から OCにOH'を下ろす。 H 四角形 CDO'H' は長方形であるから CD=H'O' H'C=O'D=6 ED よって OH'=OC-H'C=10-64 直角三角形 OH'O' において, 三平方の定理により H'O'=√OO-OH=√202-4F=√384=8v6 ゆえに、②から CD=8/6 (3) BE=DE=xとおくと AE=AB+BE=12+x CE=CD-DE=8√6-x AE=CE から 12+x=8v6-x よって x=4√6-6 33 右の図のように、半径2の外接する2A. Bが, 半径5 の円に内接している。 2A, B に外接し, 円に内接する円 C の半径を求めよ。 5(4+√5) 11 △CAB は CA = CBの二等辺三角形であり, △OAB はOA = OBの二等辺三角形である。 よって, CからABに垂線 CH を下ろすと. CHはOを通る。 また,Hは円と円 Bの接点である。 Cの半径をすると また CA=r+2,CO=5-7 OA=5-2=3, AH=2 △OAH において, 三平方の定理により OH=OA-AH'= √32-22=√5 △CAH において, 三平方の定理により CA'=AH'+CH' この等式に、上で調べた式や値を代入すると (r+2)²=22+{(5-7)+√5) 整理すると よって 14+2√5r= 30+10√5 30 + 10√5_5(4 +√5) 14+2√√5 11 A• ●B
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案外普通なんや
ありがとうございます!
ありがとうございます!