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高中
已解決
微分する○部分を積の微分法を使って赤線部分のように変形すると答えが変わってしまうのですが、どこが間違っているのか分かりません🙇🏻♀️
142 関数f(x)=logxについて,次のことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
(m(x)=(-1)"-1 (n-1)!
x"
fet1→9
_42(x)=(-1)*-1(n-1)!
とする。
[1] n=1のとき
左辺 =f(x)=1
1803 x
①
x"
Anier.
右辺 =(-1)-(1-1)! = 1
=-
x
よって, n=1のとき, ①が成り立つ。
[2] n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
ƒ(*) (x)=(-1)*-1 (k-1)!
nizxk
が成り立つと仮定する。
A・B・C問題
このとき TS-J
INS
d
-1)
(k-1)!)
I
14
S+
dx
=(-1)^-l(k-1)!(
-
x'
k
+1
(the) 2
x
=(-1)^-
k!
x+1
よって, n=k+1のときも① が成り立つ。
-[1], [2] から, すべての自然数nについて ① が
成り立つ。
解答
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補足します
d(1/xᵏ)/dx
=d(xᵏ)/dx・d(1/xᵏ)/d(xᵏ)
=d(xᵏ)/dx・d(1/t)/d(t) … t=xᵏ とおいた
=kxᵏ⁻¹・(-1/t²)
=kxᵏ⁻¹・(-1/(xᵏ)²) … t=xᵏ で戻した
=-kxᵏ⁻¹・/(xᵏ)²
大丈夫です。