Question

みみ

楕円についての問題なのですが、写真3枚目の解説でPC.CFの比がa：-ccosθなのはなぜ分かったのでしょうか？教えて頂きたいです。

楕円
+2
a2
+
y 2
33楕円
62
199-33
=1 (a>b>0) 上に点Pをとる. ただし, Pは
第2象限にあるとする. 点Pにおける楕円の接線を1とし,原点を
通りに平行な直線を m とする. 直線と楕円との交点のうち, 第
1象限にあるものをAとする. 点Pを通りmに垂直な直線が m と交
ある点をBとする.また,この楕円の焦点で x 座標が正であるもの
をFとする. 点Fと点Pを結ぶ直線が m と交わる点をCとする. 次
の問いに答えよ。
(1) OA･PB = ab であることを示せ.
(2)PC = aであることを示せ.
[大阪大〕
アプローチ
01-202
(楕円 (周) 上の点を設定するときは,ふつうはパラメータ表示を利用しま
す ( 3 (D). いまの場合は P(a cos 0, b sin O) とおけます (ただし (aa, bβ)
とおくこともある 34 (ハ) 三角関数を導入しておけば,三角関数の公式
(和積・合成・倍角・半角など) が使えて何かと便利です.本間は第2象限に
点をとるので cos00, sin0 0 であることに注意して下さい.また,楕
円の接線については32(イ).
(D)2次曲線の離心率(定点からの距離と定直線までの距離の比が一定) に
よる定義があります.これは詳しく覚えておく必要はありませんが,焦点か
ら曲線上の点までの距離はきれいな式で求まることは頭に入れておいて下さ
い つまり2点間の距離公式を利用しても最後は√がはずれるのです.
(2)は計算でやれば必ずできるでしょうが、 かなり面倒な事になりそうで
すそこでPF の長さが簡単に求まることはわかっているので, PC, CF の
長さの比を求めようと考えます.
合
x2
Placose, b sing) (書く0<x) とおくと、に
+
a²
=
62
cos
sin
-x+
a
by=1

だから,
m:
cos
sin
-x+
a
by=0
YA
P
D
B
A
m
x
①②の交点 A の座標を求める. ②からy=
b cos 0
a sin
-x. これを①へ代入
して,
x2
a²
cos²
a² sin² 0
-x² = 1
x² =
a²
cos20
1+
sin20
BEDD
= a² sin² 0
Aは第1象限にあるのでx>0だから, x = asin O
y =
b cos
a sin
· a sin 0 = -b cos 0
.. A(a sin 0, -b cos 0)
OA = √√a² sin² + b² cos² 0
また, PBは点P と直線の距離だから,
Cos
sin
· a cos 0 +
⚫b sin
PB =
a
b
==
cos20
sin² 0
+
a²
b2
.. OA PB = ab
(2)c=va2-62 とおくとF(c, 0) だから,
が何か使えないかと
考える。
PF² = (a cos 0-c)² + (b sin 0)²
ab
√√a² sin² 0 + b² cos² 0
= a² cos² 0 -2ac cos 0 + c² + b² sin² 0
= a² cos² 0 - 2ac cos 0 + (a² − b²) + b² (1 − cos²0)
-
= (a² = b²) cos² 0 -2ac cos 0 + a²
= c² cos² 0 - 2ac cos 0 + a²
=
(c cos 0 - a)²

PF= |ccos0-a|=a-ccose
また, lとx軸の交点をDとするとD-
だから,
ZUI
( cos 0 <0)
a
COS A
.0.1mにより,
a
:c=a:-ccos A
cos A
PC : CF = DO : OF = --
PC =
[ローアップ]
PC
PC + CF
a
. PF =
· (a− c cos 0) = a
a-ccos 日

Answer 1

GDO

三角形の相似と言えばわかりますか？
△FCO∽△FPD

順に説明すると、
➀　△FCO∽△FPDなので、PC:CF=DO:OF

②　DO:OF＝－a/cosθ：c
　　　 =a：－c cosθ　…　－cosθを乗じた

③　➀②から、PC:CF=－a：c cosθ
　　ん？おっ！PF=a－c cosθだったから、PC＝aなんだ！

これが１行で記載されているようです。

GDO

誤植訂正🙇
③　➀②から、PC:CF=－a：c cosθ
　　　　　　　　　　　↓
③　➀②から、PC:CF=a：－c cosθ