Mathematics
高中

(2)の解説において

n≧2^mとすると、というのはただの仮定ですよね?
nが2^mより小さくなる時のことは考えなくていいんですか?

[広島大] 基本100 重要 例題 すべての自然数nに対して, 2" n (1) k=1 k (2) 無限級数1+ (2) 数列 指針▷ (1) 数学的帰納法によって証明する。 1 2 3 1 + + することの証明 +1が成り立つことを証明せよ。 213 + n ・・・・・・・ は発散することを証明せよ。 基本 117, 重要 126 2m n2 とすると k= を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 は0に収束するから,p.201 基本例題 117 のように、199 基本事項 ②② 4章 15 ここで,m→∞のときn→∞となる。 5無限級数 計算すると,等 はさみうちの 比) II) an-br る。 内法を利用 ■れる。 計算 解答 2" (1) ・+1 k=1 k 2 ① とする。 [1] n=1のとき 1/2=1+1/2 k=1k = +1 2 よって,①は成り立つ。 [2]=mmは自然数)のとき、①が成り立つと仮定すると1/3+1 このとき 2m+1 k=1k = = 2m 2m+1 1 + 1 k=1k k=2+1 k 2 (1+1)+2+1+2+2+2 k -nxn 1-x) 2x2+1 2m+1=2m2=2"+2" 2"+2"_miei-9200 =m+ 1 1 1 +1+ + + 2m+1 2m+2 m 2 +1 1> 2m+k 2m+1 2 (k=1,2, 1+1.2mm+1 +1+ > よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。 0 1 2m+2m (= 2m+1 2m-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。mil I (2) Sm=211 とおく。2" とすると,(1)から 2m m Sn≥ +1 k=1 k k=1 ここで,m→∞のときn→∞ で lim am (+1)=0 よって limSn=8 →∞ n→∞ 00 したがっては発散する。 lan≦bn でliman=∞⇒limbn=∞ (p.174 基本事項 ③ ②) 81U 81U n=1 n Job

解答

nは、最終的に∞に飛ばすわけです
ぶっちゃけ、nが小さいときはどうでもよいわけです
最後の結論を言うための理屈を我々が並べるわけですが、
nが小さいときにその理屈の例外があったとしても、
nがある程度大きな数になったとき以降に
通用すればいいわけです

この無限級数をどこかで打ち切ります(第n部分和Sₙ)
本来は無限に足すので、
nはある程度大きいことを想定してよいわけです
n=1の場合はどうするんだ、n=2の場合は、…は無視です

nがある程度大きければ、n≧2ᵐとなる自然数mがとれます
で、「①nまでの和Sₙ」と「②2ᵐまでの和」を比べると、
②の方が小さいわけです
(1)を使うと、②よりさらに(n/2)+1の方が小さいわけです
つまり①より(n/2)+1の方が小さいわけです

あとは書いてある通り、追い出しの原理から
①も発散してしまうといえるということです

難しいですね

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