Question

おてん

[3][4]の場合分けについて

aとa+1の真ん中の値（a+1/2）が3より大きいか小さいかで場合分けをしたのですが、どうしてこれだとダメなんですか？

332
a
重要 例題 214
区間に文字を含む 3次関数の最大・最小 ①①①
f(x)=x-6x2 + 9x とする。 区間 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値 M(α)を求
めよ。
基本213)
指針 まず, y=f(x) のグラフをかく。 次に, 幅1の区間α≦x≦a +1 をx軸上で左側から移動
しながら, f(x) の最大値を考える。
i
なお、区間内でグラフが右上がりなら M (α)=f(a+1), 右下がりならM(a)=f(a)
更に、区間内に極小値を与える点を含むときは,f(a)=f(a+1) となるαとαの大小に
また,区間内に極大値を与える点を含めば,M (α)=(極大値) となる。
より場合分けをして考える。
CHART 区間における最大・最小 極値と端の値をチェック
解答
f'(x) =3x2-12x+9
[1]間の右端で最
YA
指
...
x
1
3
=3(x-1)(x-3)
f'(x) + 20
0 +
f'(x)=0 とすると
x=1, 3
f(x)
|極大|
|極小|
>
(4
0
最大
増減表から,y=f(x) のグラフは
i
図のようになる。
y4
[1] α+1<1 すなわち α <0 のとき
M(a)=f(a+1)
4
(
=(a+1)³-6(a+1)²+9(a+1) Co
=a3-3a²+4
[2] a<1≦a + 1 すなわち
[2]
[3]
[4]
y=f(x) | | (x
a O 1 3
Na+1
[2] (極大値)=(最大値)
y
X
0≦a<1のとき
最大
1.
4トン
--
a01
a 3a+1 x
a+1
M(a)=f(1)=4
次に, 2<a<3のとき f(α)=f(a+1) とすると
al 3
\a+1
a3-6a2+9a-a³-3a²+4
ゆえに 32-9a+4=0&
[3] 区間の左端で最大
yA
よって
__(-9)±√(-9)2-4・3・4
9±√33
a=
4-7
2.3
6 D
2 <α <3であるから, 5<√33 <6に注意してα=
9+√33
6>0
最大)
a+1
[3] 1≦a<
9+√33
6
口 [4]
9+√33
6
のとき M(α)=f(a)=α-6a²+9a
I+ af-n=(a)M
O
1a3
a
a+1
αのとき
[4] 区間の右端で最大
M(a)=f(a+1)=α-3a²+4
y
以上から a< 0,
9+√33
6
≦a のとき M (a)=a-3a+4;
0≦a<1のとき M(a)=4;
9+√33
1≦a<
6
のとき M(a)=α-6a²+9a
練習
⑤
214 めよ。
α
05
1
a
3
最大
La+1
a+1
f(x)=x-3x²-9x とする。 区間 t≦x≦t+2 における f(x) の最小値m(t) を求
618

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

てと

二次関数の場合は対称性があるのでそれでもよいのですが、【今回は三次関数でしかも極値付近では対称性がない】ので、実はa+1/2と3が一致する時は境界にはならないんです…
今回はそれっぽく対象に見えているので罠にハマりやすいのですね…実際は3よりも0.04ほど小さいところという…

おてん

ありがとうございます！！

では、この解法は二次関数以外では使えない、という認識で大丈夫ですか？

てと

その通りです！
ただ、どちらもf(a)=f(a+1)の瞬間を見ていることには変わらないですよ！二次関数は対称性があるから楽できるだけで…！

おてん

わかりました！ありがとうございます！！