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解答

4. 有兩正根
→ 有兩實根且兩根皆為正數
→ 判別式 D≥0,且存在正實數 p, q 為 ax²+bx+c=0 的兩解
ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)=0
→ x² + (b/a)x + (c/a) = x² - (p+q)x + pq
{ p+q = -b/a > 0
{ pq = c/a > 0

5. 有兩負根
→ 有兩實根且兩根皆為負數
→ 判別式 D≥0 且存在負實數 p, q 為 ax²+bx+c=0 的兩解
ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)=0
x²+(b/a)x+(c/a)=x²-(p+q)x+pq
{ p+q = -b/a < 0
{ pq = c/a > 0

6. 有一正根、一負根
→ 有兩實根且兩根為一正實數與一負實數
→ 判別式 D≥0 且存在 p>0, q<0 為 ax²+bx+c=0 的兩解
ax²+bx+c=a(x-p)(x-q)=0
x²+(b/a)x+(c/a)=x²-(p+q)x+pq
{ p+q = b/a
{ pq = c/a < 0
又 c/a < 0 時 ac < 0
此時 b²-4ac > 0 必成立
D≥0 且 c/a < 0 等價於 c/a < 0

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