(2)
△APQ∽△ACBより、
AP：AC＝PQ：BC
→ 1：2＝3：BC
→ BC＝6
(3)
BC＝6より、円の半径は3
△OPQは、すべての辺の長さが3となるので正三角形だから、∠POQ＝60°
円周角の定理より、∠ABQ＝∠POQ×1/2＝30°
よって、△ABQは30°、60°、90°の直角三角形であることがわかる。
△PBQの余弦定理より、BQ＝xとすると、
3²＝(2√6)²+x²-2×x×(2√6)×√3/2
→ 9＝24+x²+6√2x
→ x²+6√2x+15＝0
→ x＝3√2±√3
∠BPQ＞90°より、BQ＝3√2+√3
AB：BQ＝2：√3より、
AB＝BQ×2/√3＝2√6+2
BP＝2√6なので、AP＝2
(4)
(1)からAC＝4
方べきの定理より、AP×AB＝AQ×AC
→ 2×(2+2√6)＝AQ×4
→ AQ＝1+√6
よって、CQ＝4-(1+√6)＝3-√6
それと、（2）はなぜ合同と言えるのですか？
お返事遅れて申し訳ありません。もう必要ないかもしれませんがご容赦を。
＞(2）はなぜ合同と言えるのですか？
合同ではなく相似です。
△APQと△ACBは
∠PAQ＝∠CAB…①
円に内接する四角形の対角の和は180°になるので、
∠BPQ+∠BCQ＝180°…②
APBは一直線上にあるので、
∠BPQ+APQ＝180°…③
②③から、∠BCQ＝∠APQ
∠BCQ＝∠ACBだから、
∠ACB＝APQ…④
①④から2角が等しいので、△APQ∽△ACB
＞(2）なんですけど、OPQの正三角形に注目する考え方も教えてくれませんか？
OPQの正三角形に注目しているのは(3)なので、おそらく(3)についてだと思いますのでそちらで説明します。
APの長さを出したいのですが、(2)まででわかっている辺の長さはBP、PQ、BC(OBやOC)だけです。
この中で、(2)でBC＝6とわかったので、円の半径はすべて3であることがわかります。すると、OP＝OQ＝3となり、OP=OQ=PQ＝3から△OPQが正三角形であることがわかります。
正三角形がわかるということは、角度もわかります。何らかの利用できることは求めておいた方が都合がいいので、正三角形に注目したのです。
正三角形の方法は（3）ではなくて（2）です。
(2)で、OPQの正三角形をつかってBCを出すという方法でしょうか？
(2)の時点では、OPQが正三角形かどうかわかっていませんので、使えないですね。BC＝6がわかって初めて半径＝3、OP=OQ=3とわかるので。
ありがとうございました
（2）なんですけど、OPQの正三角形に注目する考え方も教えてくれませんか？