Question

らむ

これは間違いですか？

No.
Date
(10)athauの最大公約数とする
atb=mg, an=ng
(minは互いに素の数料)
a=mg-etalingに代入して
(mg-e) lang
ching-ling
h² = g(m l-n)
lingの倍なので、兄もの倍数である。
b=gk(kは製)とおく。
a=mg~に代入
a= mg - gk = glm-k)
aものの倍である。
よりa=gl/l)とおし
aglであり,ataは互いに素なので
l:gk
9:1である。
おりath=m,99ことない、
mとのは互いに素の数をななので、
ataとのひは互いに素である。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

例題１１０ですね。
問題文には「背理法で証明しなさい」と書いてないので正解です。
（このセクションでは背理法の練習のようですが、数学には解法は
いくらでもあるので、別解の発想はいいことです）

解説には、「最大公約数が１」であることを証明するのが難しいと
記載されていますが、「最大公約数が１」を証明できるのであれば、
正解です。

〔補足〕
最初に「最大公約数が１であることを示す」とか
最後のまとめ（結論）で、「最大公約数が１であるから」の
記載を入れるのが良いです（何を根拠に証明したかを明示する）
（m、nは互いに素であることは最初に書いてありますが、
こだわる数学の先生は多いので、書かないと減点されるかも）
画像の模範解答には「共通の素因数をもたない（互いに素を証明した根拠）」の
記載がありますよね。本番やレポート書くとき等には注意しましょう。

この問題から話がそれますが、なぜ背理法か？について、
解を１つ見つけたとき、「これしかない」といっても、「１つしかないことを証明してくれ」
ということもあるので、面倒な質問者を背理法でバッサリ否定するのに使えるんです。

らむ

丁寧に解説して頂きありがとうございます！
もう少し詳細に論述をしてみようと思います

Answer 2

GDO

正しいです。
背理法では、「2以上の公約数が存在する前提」で矛盾を示しているので、
「公約数は１しか存在しない」を示したことと同じです。

もしも×を付けられてしまったのであれば、「a+b,abの最大公約数は１である」と
互いに素であることの数学的な表現を入れるとよかったのではないか。
または、「背理法を使って証明してくださ～い」という指示があったから？

らむ

すみません。問題を載せ忘れてました