Question

たいやき

(1)に背理法を利用すると、「x、yはともに無理数だが、√x+√y、√x-√yのどちらも有理数である」となると思いますが、後半（√x+√y、√x-√yのどちらも有理数であること）しか書かれていないのはなぜですか？🙇🏻‍♀️
また、○○ならば◯◯であることを背理法で証明するとき、どこが間違っていることを示せば良いのですか？

y
x, y を正の数とする。 次の命題の真偽を調べ,真である場合には証明し, 偽である場合には反例をあ
げよ。 なお, 2 が無理数であることは証明なしに用いてよい。
(1) x,yがともに無理数ならば,
の少なくとも一方は無理数である。
x, y がともに無理数ならば,x +√y は無理数である。
[解] (1) √x +y=axy= b ・・・ ① とおく。
(中部大) 10分
(2)x=(2+√2),y=(2-√2) とおく。
a, b がともに有理数であると仮定し, ①を解くと
√x+√y = √(2+√/2)+√(2
-
(2)
√x = a+b√y-a-b
2
2
=
2
2
= (a+b)², y = (a - b)²
x=
x, y はともに有理数であり, 矛盾する。
=12+√2|+|2-√21
=(2+√2)+(2-√2)
<= 4
で有理数である。
よって、√x+√yxyの少なくとも一方は無
理数である。
よって、 この命題は偽である。
反例 x = (2+√2), y=(2-√2)^
したがって、この命題は真である。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ひよこ

p⇒qという形の命題を背理法で証明するときは、「pであってqでない」を仮定し、どこかしら(どこでもよい)に矛盾させます。
解答では、「pであって」の部分が省略されていますが、「x、yはともに有理数であり、矛盾する」のところで「pである」ことも仮定されていたことが分かるような書き方になっています。

たいやき

分かりました✨️ありがとうございます🙇🏻‍♀️！