34 第2章 複素数と方程式
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解の判別 (Ⅱ)
α を実数とする. 3つの2次方程式
x2-2ax+1=0
x2-2ax+2a=0
4x²-8ax+8a-3 = 0
......①
②
のうち,1つだけが虚数解をもち、他の2つは実数解をもつよう
なαの値の範囲を求めよ.
ここで、題意をみたすためには, D1, Dz, D3 のうち,
1つが負で、残り2つが正または0であればよいので
3
-1<a≤0, ≤a<2
注 「実数解をもつ」という表現には気をつけなければなりません.
「異なる2つの実数解」 ならば, D>0ですが、 この場合は重解も含ん
でいることになるので, D≧0 でなければなりません.
参考
問題文の意味を忠実に再現すれば次のようになります。
Di≧0
D≧0
D<0
D2≧0 または
D3 <0
D< 0 または
D3≧0
D2≧0
D3≧0
このように, 連立不等式では「かつ」 と 「または」 が混在すると,
このようなとき, 解答の手段は非常に有効といえます. ぜひ, 使え
るようになってください.
精講
2次方程式の解が実数か虚数かを判別するときには判別式を使いま
すが,この設問のように方程式が3つあると不等式を3つかかえる
ことになります. しかも, その符号は正, 0, 負3種類の可能性が
あるので,かなりメンドウな連立不等式を解くことになります. このようなと
きには表を使うとわかりやすくなります。
まちがう可能性がかなり高くなります。
解答
① ② ③の判別式をそれぞれ D1, D2, D3 とすると
D1 =α-1=(a+1) (a-1)
4
D2
4
-=a²-2a=a(a-2)
D3 =4(4α²-8a+3)=4(2a-3)(2a-1)
4
D=0a=±1
3 1
D3=0a= 2'2
D2=0a=0, 2
よって, D1, D2, D3の符号は下表のようになる.
a
|-1|...
0
D1 + 0
-
D2 +
D3 +
+ +
+
0
+
+
+-
|1|2
1
...
-
0
0||
-
-
+
―
-
3-2
+
|||0
+
2
+
-
0
+ +
ポイント
...
演習問題 18
+
+ +
「かつ」 と 「または」 が混在している連立不等式を数直
線を利用して解くと繁雑になるので, 表を利用した方
がわかりやすい
αを実数とする. 3つの2次方程式
x2-2ax+1=0
x²-4x+α²=0
......①
......②
x²-(a+1)x+α²=0 ...... ③
のうち, 1つだけが実数解をもち,他の2つは虚数解をもつような
αの値の範囲を求めよ.
理解できました‼️有難うございます😭