Question

わ。

(2)だと何故1に収束しないのですか？？

17
無限等比数列の収集条件
次の数列が収束するような実数xの値の範囲を求めよ。 また、そのときの極
を求めよ。
(1) ((2x-3)*)
(2) (x(3-x)"
CHART & SOLUTION
無限等比数列 [rが収束1<rl
極限値は場合分けが必要
1<r<1 のとき→0
r=1のとき
r→1
[注意
である。
初α公比である無限等比数列{ar" -リの収束条件は,
a-08-1<rál
(初項が0のとき, 数列は 0, 0, ・・・・・・
となり, 0 に収束する。)
p.33 基本事項 5
キー1のと
CHART &
を含む数
r” の極限は、
{r}が収束す
>1のと
本例題 16
(1) 公比を求め, 不等式 -1 < (公比)1 を解く。
(2) 初x, 公比3-xの無限等比数列である。 初項の条件に注意。
解答
(1) 数列{(2x-3)"} が収束するための必要十分条件は
-1<2x-3≦1
また, 極限値は
2x-3=1
すなわち
1<x≦2
-1<2x-3<1 すなわち 1 <x<2 のとき 0
すなわち x=2
のとき 1
(2)この数列は,初項x,公比3-x2の等比数列であるから,
←公比は2x-3
<+2<2x≤4
右の不等号に注意。
←-1< (公比) <1
← (公比)=1
解答
よって
r=1
\r>
収束するための必要十分条件は
x=0
① または
1<3-x≦1... ②
②について
A<B
A<B≦C⇔
B≦C
-1 <3-x2 から
-2<x<201
3-x≦1 から
共通範囲をとって
-2<x≤-√√2, √2 ≤ x <2
よって、求めるxの値の範囲は,①との和集合で
24
20
12x
√2
-2<x≦-√2,x=0, √2≦x<2
また,極限値は
x=0 または 1<3 - x < 1 すなわち
-2<x<-√2,x=0, √2<x<2 のとき 0
3x=1 すなわち
PRACTICE 17
数列{arn-1} の極限値は
a=0 または-1<r<1
のとき 0
r=1のとき a
x=±√2 のとき,初項
x=±√2 のとき ±√2 (複号同順)±√2,公比1の等比数
列。
よう

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

(1)は初項が2x-3、公比も2x-3の等比数列。赤線の部分は公比が1となる時の話であり、そのときは初項の値から変化しないため、初項の値に収束する。(1)は初項も1となるので、1に収束する。

(2)は初項がx、公比が3-x²の等比数列。赤線の部分は公比が1となる時の話であり、そのときは初項の値から変化しないため、初項の値に収束する。3-x²=1となるときxは±√2なため、初項xつまり±√2に収束する。