Question

みみ

数2の式と証明の分野で（3）がわからないので教えて頂きたいです。解説でx＝1を、代入すると項の係数の和になる理由がいまいちわからないので教えて頂きたいです。

7Co 1+70
EX (1) (1+x)"(1+x)"=(1+x) 2 の展開式を利用して, 等式 „C2C2+C=Cが成り
3
立つことを証明せよ。
(2)n≧2 のとき, 等式 n C1+2nCz+3,C3 +......+nnCn=n2"-1 が成り立つことを証明せよ。
●(3) (2x-1)を展開したとき、すべての項の係数の和はである。
(1) (1+x)"(1+x)"="ConCotnix++ Cmx")
Cx("Co+nCx+....+hCnx") +......
+nCmx" (nCo+nCx+......+nCx)
ゆえに,(1+x)"(1+x)" の展開式において, x” の項の係数は,
nCk=nCnkにより
[(3)近畿大]
←(1+x)" %
=nCo+rCix+••••・・
nCo•nCn+nC₁•nCn−1+ + n Ck • n Cn - k + +nCn•n Co (8) 201
=nCo2+nCi2+•••••••••••+nCn2
2n
←展開式の一般項は
一方,(1+x)2" の展開式において, x” の項の係数は 2n Cn
したがって nCo+„C12+..+nCz2=2nCmple
n!
(n-1)! De
(2)km=k·
=n°
k!(n-k)! (k-1)!(n-k)! S=10
=nn-1C-19
また
2"-1=(1+1)"-1
>
=n-1Co+n-1C1+n-1C2+..+n-1Cn-1
inCrxr
①
+b)"-1 の展開式で
よってこれらのことから
a=b=1とおく。
nC1+2nC₂+3nC3+ ··· + n nСn S)(0,1)=(p)
=n(n-1Co+n-1C1+n-1C2++n-1 Cn-1)
.p
24
←C=Coなど。
=n•27-1
-10-09-2016-12-0

(3)展開式の一般項は
+5Ci (2)++sC2(2)3+5C
数学II 23
XC
5 Cr (2x) 5-*(-1) = 5 C++ 25-" (-1)" x 5-2
これは x5-2 の項の係数である。
展開式の一般項にx=1 を代入すると 5Cr. 25-(-1) となり,..
←r=0, 1, 2,…,5で
あり,各rの値に対して
1章
が成り立つ。
EX
よって, 求める和は与えられた式に x=1 を代入したときの値
であるから
<別解
(2-1-1)=1 2714CK(22)(2)
=
5
5
[式と証明]
Ck. 2k. (+1) 5
5-k
24-5

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

易しい場合で説明します
(x+3)²を展開したときのすべての項の係数の和は？

二項定理より
(x+3)² = ₂C₀x²3⁰+₂C₁x¹3¹+₂C₂x⁰3²…★
です

各項の係数の和は★の右辺のxに1を入れた
₂C₀3⁰+₂C₁3¹+₂C₂3²
で、これを聞かれています

これは、★の左辺のxに1を入れたものと当然同じで
(1+3)²
つまり4²=16です

模範解答は一般項の話のみで結論に行っているので
わかりにくかったのかもしれません
二項定理の一般項だけでなく、
展開した式のすべての項を書き並べたものが基本です