Question

みみ

微分の問題なのですが、これはxの値は変化するけどtの値は不変なのですか？x、tがそれぞれどのような役割を果たしているのかわからないので教えて頂きたいです。

EX
@158
(1) (t+t)(t+[t-1)=
大教える
[1] x≦0 のとき
(2)y=f(x) のグラフとx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。
0
実数全体を定義域とする関数f(x) を f(x)=3f (t+t)(t+t|-1)dt によって定める。
(1) y=f(x) のグラフをかけ。
x-1
[類 慶応大]
2t(2t-1) (t≥0)
(t<0)
←tl=1
t (t≥0)
-t (t<0)
←x≦0 のとき,
t≦x から t≦0
x-1≦tsxにおいて
(t+t)(t+|t|-10
よってf(x)=3f_0dt=0
[2] x-1<0<x すなわち 0<x<1のとき
x-1≧≦0 において (t+|t|)(t+|t|-1)=0
0≦t≦x において
①場合分けして
(t+|t|)(t+|t|-1)=2t(2t-1)
よってf(x)=3f0dt+3f2t(2t-1)dt
SS (121² -61)dt= [41³-31"]"
より
=4x3-3x2
したがって
グラフを書
②0を群にい
2
分け
る
(水)
大は動かない
←f(x) は3次関数とな
るから, 微分法を利用す
る。
f'(x)=12x2-6x=6x(2x-1)
1
x
0
f'(x) =0 とすると x = 0,
2
f'(x)
f(x)
0<x<1における f(x) の増減
表は,右のようになる。
-
[3] 0≦x-1 すなわち x≧1のとき)(1
x-1≦t≦x において
よって
f(x)=3S_21(2t-1)dt=[41-312]
|12|0
1
4
...
1
+
(t+|t|)(t+|t|−1)=2t(2t−1)
x-1
=4x3-3x2-{4(x-1)-3(x-1)^}
3 \2
=12x2-18x+7=12x-
+
[1]~[3] から, y=f(x) のグラフは,右の図の実線部分の
ようになる。
(2)(1) のグラフから,求める面積Sは
3
--------[x*x−1}]*
S=-
=-
4
--(3-)*(-1)-256
27
YA
1
14
1
4
2
31x
7章
EX
[積分法]

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

y=(t+|t|)(t+|t|-1)のグラフのt=x-1からt=xまでの範囲とx軸との面積を3倍したものをf(x)と定義しています。
tはグy-tグラフのtの値(y-xグラフのx軸をx→tと変形しているだけ)なので、変化するというよりあらゆる範囲を取れるといったほうが正しいですね。(y=xのxの値はどんな値でも取れるイメージ)
xについては、xの値によってy-tグラフのどの範囲を取るかが変わるので、xで場合分けする必要があります。

みみ

t＝xとして考えて良いと言うことでしょうか...？

あ

いや、そうではないですね。　

tはグラフの横軸(普通ならx軸)を表しているのですが、今回はxの値が全く別の変数として出てきているので、xが横軸を表しているわけではないのです。

tというのは1枚目の写真のグラフの横軸を指します。
このグラフは延々に続くため、どんなtの値を代入してもそれに対応するyの値も存在します。よってtはどんな値でも取れるということです。

普通のグラフの横軸と同じ扱いになっています。

あ

積分はグラフとt軸との間の面積を求めているということです。
このとき、グラフのどこからどこまでを範囲とするか(この写真の縦線をどこに引くか)がxによって定まるということです。

みみ

解説でx軸を置いているところは実際はtということですか...？

あ

違います

グラフの形がよく似ているのでわかりにくいと思いますが、私が載せた写真の方はt≧0においてy=2t(2t-1)を表しており、これは積分されるインテグラルの中のtの式のグラフを示しています。
f(x)は2枚目の写真の斜線図の面積の３倍を表しています。

たまたま似ているように見えるだけで、これらのグラフは全くの別物です。