Question

みみ

図形と方程式の問題です。どのような場合の時に最後の逆の確認を行えば良いのかわからないです。教えて頂きたいです。

重要
150
114 接線に関する軌跡
lとし,その交点をRとする。 l と l2 が直交するように2点P,Qが動くとき,
放物線y=x2上の異なる2点P (p, 2), Q(g, q2) における接線をそれぞれ l,
点Rの軌跡を求めよ。
基本 110
2点P,Qにおける接線の方程式をそれぞれ求め,それらを連立方程式として解くと,
交点R の座標 (x,y) が求められる。 x, yはつなぎの文字 gの式で表されるから、
pg を消去する方針で進める。
181
その際,2直線が垂直
解答
接線の傾きをm とすると,その方程式は
y=(x-p) すなわち y=m(x-p)+p2
これとy=x を連立して x=(x-p)+p2
整理すると x2-mx+mp-p=0
この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-m)-4(mp¯p²)=(m−2p)²
接するとき, D=0であるから (m-2p)=0
よって
点Pにおける接線でx軸に垂直なものはないから,
(傾きの積)=-1 を利用する。
P(カッカ) Q(g,g2)
3
10
l2
ふつうに
R
(x.)
x
章
18
微分
m=2p
したがって, l の方程式は
すなわち
y=2px-p2
y=2p(x−p)+p²
①
同様にして, l2 の方程式は =2gx-q2
交点R の座標 (x, y) は, 連立方程式 ①,②の解である。
を消去して整理すると 2(p_q)x=(p+g) (b-g)
p+g
pgであるから
&c=
2
販
0=S-
これを① に代入して
y=2p
ptg-p=pa
20-1
ここで, l⊥l2 から
2p･2q=-1
よって, pq=
から
y=-
③
4
4
逆に,
(*)
* ③ が成り立つとき,pg を2解とする 2次方程
式2-2xt-
=0 の判別式をDとすると
1
D'
よって D'0
4
①でをgにおき換え
る。
参考 後で学習する微分法
(第6章) を用いると, 接線
の方程式をより簡単に求め
ることができる ( 解答編
97 の 参考 を参照)。
(*) 逆の確認。
直線 y=-21 上の任意
の点から、必ず接線が2
本引けることを確認して
いる。ここで, pg を2
解とする2次方程式の1
p+g=2x,
ゆえに、任意のxに対して実数pg (p)が存在する。
b=-1/2 から
4
したがって求める軌跡は
直線y=
==
21 (0
12-2xt-
=0
大事

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

聖火台

そもそも軌跡が出来なくなる時です

例えば、もしPとQが同じ場所に来たら交点はありません。なので軌跡を考えることができません
なので実際にその解答でもp≠q(2つの接戦のx座標が等しくなる点は除く)としています。

そういう場所がない時は逆の確認をする必要はありません