Question

ひーー

（2）について、不等式の証明で、なぜbを-bとするのですか？aをa+bとおくのは、わかるのですが、どうせ絶対値なので正となるので-bとしなくてもとおるのでは？と思いました。
詳しく教えてほしいですお願いします🙇

51
ラ
506
基本 例 30 絶対値と不等式
次の不等式を証明せよ。
(1)|a+b≦|a|+|6|
(2)|a|-|6|≦|a+6/
(3)|a+b+cl≦lal+101+10
基本 29 重要 31
UP
ズーム 絶対
教て長く
<
どて
配
な
指針 (1) 前ページの例題29と同様に、(差の式) ≧0は示しにくい。
A=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで
内の
ア:
解答
A≧0, B≧0 のとき
AZB A≥BA-B≥0
の方針で進める。また,絶対値の性質(次ページの①~⑦) を利用して証明しても。
よい。
(2)(3)(1) と似た形である。 そこで, (1) の結果を利用することを考えるとよい。
② 方法をまねる
CHART 似た問題 1 結果を利用
(1)(|a|+|6|-|a+6°=a°+2|a||6|+62-(2+2ab+62) AA
よって a+b=(a+b)²
=2(|ab|-ab)≥0
la+6|≧0,|a|+|6|≧0 から
la+6|≧|a|+|6|
|||a|=|||6|
絶対値を含
絶対
数学 Ⅰ
ついて
すなわ
けし、
学ん
応が
場合
そこ
この確認を忘れずに。
(2
[別解]一般に,|α|≦a≦|a|,-|6|≦66 が成り立つ。 |A|≧A, A|-A
から -|A|SAS|A|
この不等式の辺々を加えて
-(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6|
したがって
la+b≦|a|+|6|
(2)(1)
不等式でαの代わりに a+b, bの代わりに-b
とおくと
(a+b)+(-6)|≦|a+6|+|-6|
よって|a|≦la +6|+|6|
ゆえに |a|-|6|≦lat01
<-BSA≤B
⇔|A|≦B
ズーム UP 参照。
別解 [1] |a|-|6|<0 のとき
la +6≧0 であるから,|a|-|6|<la+6は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0 のとき
|a+b-(|a|-|6|)²=a2+2ab+b2-(a-2|a||6|+62)
=2(ab+lab|)≧0
よって (|a|-|6|)≦|a+6
|a|-|6|≧0, la+6|≧0であるから|a|-|6|≧|a+b1
[1], [2] から |a|-|6|≦|a+6
(3)(1)の不等式でもの代わりに6+c とおくと
la+(b+c)|≦|al+6+cl
|a|+|6|+|c|
よって la+b+cl≦|a|+|6|+|c|
Ala-b<0sa+bl
[2] の場合は, (2) の左
辺, 右辺は0以上であ
るから,
(右辺) (左辺)20
を示す方針が使える。
(1)の結果を
(1)の結果
(16+c
(1) 不等式√2+b°+1 √x+y°+1 ≧lax+by+1を証
③_30_ (2) 不等式 [a+6] ≦ [a] + [6]を利用して、次の不等式/
(ア) la-bl≦|a|+|6|
(イ) 101-101-1

が、
a
場合分けの数が多く煩雑になる)。
そこで,次のように考えていく。
(b=0)
161
C (1) 指針で書いたように, (右辺) - (左辺) を考えても, ≧0を簡単に示すことがで
きない。ここでは,||≧0 から, (左辺) ≧0, (右辺) ≧0であることに注目し,
例題 29 同様に(右辺)(左辺)≧0 を示す方針で進める。
(2) 左辺 |α|-|6は負の場合もある。 そこで,別解のように,|a|-|6| < 0 と
|a|-|6|≧0 に分け,|a|-|6|≧0 の場合は (右辺)-(左辺)'≧0 を示す方針でも
よいが,次のように考えると (1) の結果を利用できて、手早く証明できる。
証明する不等式は |a|≧|b|+|a+b| Aと同値で,これは (1) の
||≦||+| |と似た形。そこで,(1)の不等式を
10+≤10+
B
とみて, ○+□=α となるようにBで◯=α+b, □=-6 とおくと
lal≦la+6|+|-6|
......
©
ここで,|-6|=|6|であるから, C の右辺は A の右辺に一致し、うまくいく。
(3) は (1) の結果を繰り返し2回使うことで, 証明することができる。
参考 (1) 不等式は三角不等式と呼ばれる, 数学界では重要な不等式である。
例題 30 の不等式の等号成立条件について
(1)等号が成り立つのは、解答ので等号が成り立つときである。
すなわち |ab=ab から, ab≧0のときである。
ab < 0 のときは lab > ab
(1)の等号成立条件 ab ≧0 において、αの代わりにa+b,
ときである。

不等式の証明

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

BaSO4

前提として、AとBを同じ式として見たい。という考えがあります。
なので、○+⬜︎=aにしたい。
○=a+bとすると、
○+⬜︎=a
a+b+⬜︎=a
⬜︎=-bとなります。

ひーー

恒等式みたいな感じで考えでいいんですか？

BaSO4

そうですね
(1)と同じ扱いにするためにそれぞれの場所の値を同じ形にしてみようって感じですかね

ひーー

なるほど（2）はわかりました！
（3）で、bをb+cとおくのは、理解できたのですが、その後の計算で
|b|+|c|≧|b+c|であるのに
|b+c|をつぎのところで|b|+|c|とするのは、
証明する不等式が、左辺より右辺のほうが大きいから、|b|+|c|となっても大きいまたは同じということで成り立つからということでよいですか？

BaSO4

そうですね。
貼ってくれた画像の白い字のことが(1)でわかってるのでそれを使えば青矢印の変形ができて、出題されてる形にできるねってことで良いです。

ひーー

丁寧にありがとうございました

Answer 2

赤い彗星

（1）の不等式に代入しています。
（1）の左辺から b を消すためです。
そのように代入しないと、（1）の不等式から（2）を証明できないからです。