Question

我是人類

請問這題怎麼求最大最小值

6
ㄒㄧ
5. 設x,y∈R,若x+y=x²+y²,求x²+y)的最大值與最小值。
I'... a(x²+1)->πta

Answer 1

qn

設 m=x+y=x²+y²≥0
(x+y)²=x²+y²+2xy
m²=m+2xy
→ xy=(m²-m)/2

x³+y³=(x+y)(x²+y²-xy)
=m[m-(m²-m)/2]

為了方便計算，將兩邊同乘以2

2(x³+y³)=m[2m-(m²-m)]
=m[3m-m²]
=3m²-m³

注意到，這個三次函數在m≥0只有局部極大值
在那之後就會走向負無窮大
所以m應該還有其他限制

由算幾不等式可知
x²+y²≥2|xy|
m≥|m²-m|
m≥m|m-1|
1≥|m-1|
0≤m≤2

d/dm (-m³+3m²) = -3m²+6m
令其為0，即 -3m²+6m=0
解得 m=0 或 m=2

m=0 時，x³+y³=0
m=2 時，x³+y³=(-2³+3·2²)/2=2
因為極值剛好發生在頭尾，所以不用再多檢查

因此，最大值2，最小值0