Question

おにぎり

⑵バネの長さが最大の時とバネをl縮めた地点でのエネルギー保存の法則を使ってはダメなんですか？

例題 23
3 力学的エネルギー
10
質量Mの板をつけたばね定数
んの軽いばねがある。 この板に質
量の小球を押しつけ, ばねを
M
m
Imm
だけ縮めた後, 手を放した。 重力
huz
7
ほん
加速度の大きさをg とする。 ただし,面はなめらかで, ばねが自然
長に戻ったとき, 小球は板から離れる。
m
(1) ばねが自然長に戻ったときの小球の速さを求めよ。
2,
<(2) 小球と離れた後, ばねの伸びの最大値xはいくらか。
ma
(3) 小球が高さんの台上にすべり上がるための1の条件を求めよ。
2.
解面はなめらかであり, 仕事をする力が重力と弾性力だけなので力学的エネ
ルギーは保存される。
(1) は (板と小球) の速さなので
2
½ kl² = 1½ (m+M) v² £ŋ_v=1
k
m+M
(2) ばねの長さが最大のとき, 板の速さは一
瞬0になる。
1175) 1½ Mv² = 1½ k
x2 最大
kx²
ひ
M
M
. x=v
k
m+M
(3)右図において
12mu=12mo+mgh
ここで
12
で/1/mo≧0なので
12m-mgh≧0となり,問(1)の結果を代入して
k
1m (1√ m² + M
2
- mgh ≧0
2(m+M)gh
k
自然長
v
h
(位置エネルギーの基準)
-47-
基
92
3gc
g
g

2322Kl2=1/2(M+m)ぴ
Kl2
=
htm
ひろ
ひこ!
K
√M+M
x2=lz
x:l

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

京一浪

POINTは「物体系」です。
いま、小球と板からなる系においてエネルギー保存を適用しましょうか。
まず、外力により自然長からｌだけ縮めているとき、この系におけるエネルギーは弾性力によるエネルギーのみです。
よって、
（小球&板の系の全エネルギー）＝kl²/2
これが「小球&板による系内」で保存します。
次に、小球が板を離れてからバネの伸びが最大になるときの「小球&板による系内」の全エネルギーを考えましょう。
おにぎりさんのおっしゃる通り、バネの伸びをxとすると、弾性力によるエネルギーkx²/2が生じていることになります。
このとき、確かに板の速度は0なので、板の運動エネルギーは0です。
ところが、今は「小球&板の系内」でのエネルギー保存を使っているので、小球の運動エネルギーを求める必要があります。いや、さらに言うとバネの伸びが最大のとき、小球は坂を登っているかもしれませんので、これによる位置エネルギーも考察対象になります。
簡単に言うと
kl²/2＝kx²/2+（バネの伸びが最大のときの、小球の力学的エネルギー）
という式を立式する必要があるのです。
しかし、小球の力学的エネルギーってどうやって求まるんでしょうか？
そもそもバネの伸びが最大のとき、小球がどの位置にあるかわからないので元も子もありません。

つまり、問題は系の取り方にあり、「板のみによる系」でエネルギー保存を用いる必要があったのです。
理論上おにぎりさんの系の取り方でも導出は可能でしょうが、本問では条件が不足しており、不適切な解法となってしまいます。
kl²/2は「小球&板による系」内で共有される弾性エネルギーなので、「板のみによる系」でのエネルギー保存の式に使うことはできないのです。

おにぎり

分かりました!ありがとうございます！