✨ 最佳解答 ✨
(1)(ⅰ)sin2Θ=2sinΘcosΘより、sin2Θ+cosΘ=cosΘ(2sinΘ+1)。これが0となるのは、cosΘ=0またはsinΘ=-1/2のとき。0≦Θ<2πより、Θ=1/2π、3/2π、7/6π、11/12π。小さい順に並べると、1/2π、7/6π、3/2π、11/12π。
(ⅱ)(cosΘ)^2=1-(sinΘ)^2より、
2(cosΘ)^2+7sinΘ-5=2-2(sinΘ)^2+7sinΘ-5=-(2sinΘ-1)(sinΘ-3)。これが0より大きくなるということは、(2sinΘ-1)(sinΘ-3)<0となるということ。-1≦sinΘ≦1より、sinΘ-3<0なので、2sinΘ-1>0だから0≦Θ<2πより、1/6π<Θ<5/6π
(2)cos2Θ=2(cosΘ)^2-1より、ab=2(cosΘ)^3-3(cosΘ)。0≦Θ≦π/2より0≦cosΘ≦1、cosΘ=xとおくと0≦x≦1でありf(x)=2x^3-3xとすると、f'(x)=6x^2-3なので、x=1/√2、-1/√2のとき、f'(x)=0となり、f(x)のグラフの形を考えるとx=1/√2でf(x)は極小値をとり(これは0≦x≦1を満たす)その値は-√2。これがabの最小値となる。
①これが0より大きくなるということは、-(2sinΘ-1 )(sinΘ-3)>0が成り立ちます。両辺を-1で割ると、不等号の向きが逆になるので、(2sinΘ-1 )(sinΘ-3)<0となります。
②sinΘは単位円上にある点のy座標を示すため、-1≦sinΘ≦1 となります。
これにより-4≦sinΘ-3≦-2となるため、sinΘ-3＜0となります。
このとき、(2sinΘ-1)(sinΘ-3)<0より、2sinΘ-1>0となります。
※2sinΘ-1が0未満になるとマイナス×マイナス=プラスより(2sinΘ-1)(sinΘ-3)>0となります。2sinΘ-1=0のときは(2sinΘ-1)(sinΘ-3)=0となります。
f(x)がxの3次式となる場合、x^3の係数が正のときは赤のグラフとなるため、f'(x)=0を満たすxの点をα、β(α<β)とおく(これはグラフの傾きが0の点であり、殆どの場合グラフの傾きが変化する点)と、x=αではf(x)は極大値を取り、x=βではf(x)は極小値を取ることがわかる。(グラフの傾きが変化している点は2つあり、左のほうがy座標が大きく、右の方がy座標が小さいですよね)
よってf'(x)=0を満たすx=-1/√2と1/√2では、x=1/√2が極小値を取るとわかります。
ちなみに、xの3乗の係数が負のときは、f'(x)=0の解をα、β(α<β)とおくと、x=αでf(x)は極小値を取り、x=βでは極大値を取ることがわかります。
(2)の補足
今回は0≦x≦1なのでf(x)の最小値はf(x)の極小値と一致しましたが、xの範囲がf (x)の極大値のグラフの範囲まで含む場合f(x)の最小値は「極小値」or「xの範囲におけるxが最も小さい値のときのf(x)」のどちらかなので、両方のときのf(x)を出して、これらを比較してより小さい方を選ぶというのが正しい解き方となります。
丁寧に説明してくださり、ありがとうございます。
教えていただいたところまで理解できました。
(3)のf(x)のグラフの形を考えるとx=1/√2でf(x)は極小値をとり→理解できた
「(これは0≦x≦1を満たす)その値は-√２」
→なぜ-√2にあるのかがわからないです。
何度もごめんなさい。
教えていただけるとありがたいです。
区切りの位置が違いますね。カッコはその前文についての補足です。
xの範囲が極大値を含まないため、xの範囲が最も小さい時のxについて考える必要がないため、極小値が最小値になると考えましたが、もしかしたらxの範囲がxの極小値におけるxを含まないかもしれないため、極小値におけるxの値x=1/√2がxの範囲0≦x≦1を満たしていることを確認し、このときf(x)=f(1/√2)=-√2になるということです。
理解できました。
本当にありがとうございました！
基礎的な質問でごめんなさい。
（2）の問題について質問があります。
①［これが0より大きくなるということは、(2sinΘ-1)(sinΘ-3)<0となるということ。］
→不等号の向きが「＜」なる理由が知りたいです。
②-1≦sinΘ≦1より、sinΘ-3<0なので、2sinΘ-1>0
上記のような式になる理由が知りたいです。
可能であれば（3）のf(x)のグラフを図式化していただけるとありがたいです。