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演習 例題 193 指数方程式の解の個数
[日本女子大]
aは定数とする。 x の方程式 4x+1-2x+4+5a+6=0 が異なる2つの正の解をも
つようなaの値の範囲を求めよ。
基本173
指針 2=t とおくと、方程式は 4t²-16t+5a+6=0
このとき ① 変数のおき換え 範囲に注意
与式から 4(2x)²-16 2*+5a+6=0
x>0⇔t=2>1で,x≠X2 のとき2% 1≠2%である。 つまり, xの値が異なると
値も異なるから, x>0 を満たすxの個数とt> 1 を満たすtの個数は一致する。
よって, 2次方程式 ① が1より大きい2つの実数解をもつ条件を考えればよい。
解答 2*=t とおくと, 方程式は
4t2-16t+5a+6=0
...
......
①
x>0のときt> 1 であるから, 求める条件は、 2次方程式
① がt>1の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。
すなわち, ① の左辺をf(t) とし,① の判別式をDとする
DI
4x+1=4 (2x)2,
2x+4=16.2x
YA
y=f(t)
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