Question

綾

求解謝謝

15. 如圖,圓」的方程式為(x-h)+(y-k) = r²,已知圓T上有兩點 A(-3,2) 和 B (4,9),且通過圓T
和圓 C : x² + y =1 交點 P 的兩切線互相垂直,則數對(h, k, r) =
(115,5).
y=mx
mx-y=01
5
m²+1
(14m+ 1)² = (+ √m²+1) "
16m² +8m +2 = 16m=+16
Xm
(-3,2)
B
(4,9

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

圖形參考下圖。由題意可知，
兩切線垂直，又交於P點，
表示兩切線彼此通過對方的圓心。

先將(–3,2), (4,9) 分別代入圓Γ方程式得
(–3–h)²+(2–k)²=r² ●
(4–h)²+(9–k)²=r²
兩式展開後並相減可得
14h–7+14k–77=0
h+k=6
k=6–h

這表示圓心M(h,k) 在 x+y=6 的直線上
可假設M (h, 6–h)。

O為原點，也是圓C的圓心
因為MO²=h²+h²–12h+36

又 △MPO是直角三角形，由畢氏定理知
r²+1 = 2h²–12h+36 ◆

再考慮 ● 式中
h²+6h+9+h²–8h+16=r²
r² = 2h²+–2h+25
r²+1 = 2h²–2h+26

這表示 ◆和● 可以解聯立得
10h=10 故解得 h=1, r=5, k=5