例90
a=1,xx)=20+1 によって定められる数列{a.)の一般項を求めよ。
CHART
v=pa.g型の漸化式
a-e=p(a.-c) & (cl c=pc+q)
GUIDE®
① cmpctgを満たす。 を求め、漸化式を ti-c=pac) の形に変形。
② a-c=とおき、数列(b)の一般項を求める。
③3 bate であることに注意して、数列(a)の一般項を求める。
解答
t=202+1 を変形すると
+1=2 (+1)^
発展 97.98 100
整理して与式と
一致することを確認
ここで、 a.+1=6 とおくと
b=20m
よって、数列{bg) は公比2の等比数列で、初項は
b=2-2²-1-2
a₂=2"-1
ゆえに、数列{bg)の一般項は
したがって、数列{a.)の一般項は
[別解
ano=2an+1
① において、 の代わりに +1 とすると
02+2=20 +1+1
Gitla
また、
c=2c+1 を解くと
9-9-2(x+1(-as)
②-①から
よって、数列{an}の階差数列を (62) とすると
ゆえに、数列{bg) は公比2の等比数列で、初項は
by=as-a, =(24,+1) -a, = 0,+1=1+1=2
よって、数列{bg}の一般項は b=2-2-¹=2"
&at.
-a₂+1=b, T. nofth
りにn+1 とおくと
1ってなんです
UP
これまで漸化式として
等差数列型
a₁+1=b₁
等比数列型
階差数列型
この3つの型に
ることを考える。
さて、 +1 = pa+
1~③のどれにも当て
必要がある｡
等比数列型に帰着
① において,g=0
変形し、数列{an-
比較列になるようにで
a=b2-1
① #anti-cp(c
b1=a, 特別用を比較すると
たとすると、②から
c=pct
等比数列の公
b
どのように導きます
すなわち
これは、① で aarty
C
したがって、につい
たから
に変形することができ
に帰着することで
なお、方程式 ④ を
なるほど！分かりました！ありがとうございます！