Question

01

想問第三題謝謝🙏

(A), (B)3 (C)6 (D)12 (E)18
設f(x)為實係數三次多項式函數,滿足(x+1)f(x)除以x+2的餘式為x+2。若
f(0)=4,則f(2)的值為下列哪一個選項?
(A)8 (B)10 (C)15 (D)18 (E)20

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

綾

因為題目說f(x)是三次函數
可知(x+1)f(x)是四次函數
可列出(x+1)f(x) = (x^3 + 2)(ax + b) + (x + 2)
已知f(0) = 4
代入上式：(0+1)f(0) = (0+2)(0+b) + (0+2)
=> 4 = 2b + 2
=> b = 1
將x = -1代入上式
(0)f(-1) = (-1+2)(-a+1) + (-1+2)
=> 0 = -a + 2
=> a = 2
f(x) = [(x^3 + 2)(2x + 1) + (x + 2)]/(x + 1)
f(2) = [(2^3 + 2)(2*2 + 1) + (2 + 2)]/(2 + 1)
= 18

01

請問為什麼b=1後要帶入x=-1啊

綾

因為可以使等式一邊變為0
進而求出a值

或是另一個想法
一開始假設出的式子表示
等式右邊除以(x+1)能除盡
因此利用餘式定理可得f(-1) = 0