Question

セルゲイ

数学2 4ステップ 181

解説の線で囲った部分についてです。

なぜこうなるのかわからず、調べた所、

『まず２直線の交点の座標を出して、（1）は、傾きが同じなので５x-６y+ｃ=０、（2）は傾きがかけたら-1なので６x+5y+ｃ=０となるようにx、yに交点の座標を代入して式が成り立つようにｃを求める』

と言う回答がありました。

しかし、どのようにして『５x-６y+ｃ=０、６x+5y+ｃ=０』と言う式が登場したのか分かりませんでした。

どなたか解説宜しくお願いします🙇

*181 2直線x-y+1=0, 3x+2y-12=0 の交点を通り、次の条件を満たす直線
の方程式を,それぞれ求めよ。
(1) 直線 5x-6y-8=0 に平行である。
(2) 直線 5x-6y-8=0 に垂直である。
レンタ
JA

別解 連立方程式
[x-y+1=0
[3x+2y-12=0
を解くと
x=2. y=3
よって, 2直線の交点の座標は (2,3)

(1) 点 (2,3) を通り, 直線 5x-6y-8=0に平行
\1
な直線の方程式は 5(x-2)-6(y-3)=0
すなわち
5x-6y+8=0
(2) 点 (2,3)を通り, 直線 5x-6y-8=0に垂直
な直線の方程式は
-6(x-2)-5(y-3)=0
すなわち
6x+5y-27=0
MO AD AN IS

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

たまご

まず，一次関数の一般形 ax+by+c=0⋯①における平行，垂直な直線について考えましょう。
①をyをxの式で表すと
y=(-a/b)x-c/b
と表せます。
平行であるなら，傾きは-b/a
垂直であるなら，傾きはa/bとなるはずです。
ここから分かるのが，aとbだけが直線の傾きに関わっていることと，
aとbを入れ替えてaを-aにしたもの(b=-bとしてもよい)が垂直なものを表すということです。

本題に入ります。
本問では，5x-6y-8=0⋯②で，x=2，y=3を通るとの事なので
②にx=2，y=3を代入したら等式は成り立ちますよってことを言いたいわけです。(実際の式に代入しても等式は不成立)
ここで前述したことを踏まえると，傾きに関係しているのは5x-6yの部分だけで，-8は無視していいということです。

まず，平行より5x-6yはそのままでよい(移行したら全くおなじになるから)
ですから，仮に 5x-6y+C=0 (Cは成り立つように調整してやればよい)とすると
x=2，y=3を代入して成り立つようにCを調整すると，C=8

続いて，前述の議論から5と6を入れ替えてマイナスをつけてやればいいということから
傾きの関係する5x-6yの5と6を入れ替えてマイナスをつけると 6x+5y+D=0(もしくは-6x-5y+E=0)
x=2，y=3を代入して成り立つようにDを調整すると，D=-27となります。(EであればE=27)

ただの暗記では面白くないので，回りくどいですがこのような説明としました。

長文失礼しました。

セルゲイ

一つ一つ紐解いて説明してくださったおかげで理解ができ、数字が変わっても問題を解くことができそうです！とても助かりました！！

詳しく説明してくださって本当にありがとうございます！！！