Question

(¯―¯٥)

求解
A:k=6√3時，P(2√3, -2√3/3, 2√3/3)
k=-6√3時，P(-2√3, 2√3/3, -2√3/3)

如圖,已知2x²+3y²+6z²=36的圖形為中心在原點的一個橢球,平面E:2x-y+2z=k
與此橢球相切,試求k的值及所對應的切點坐標。(有兩組解)

平面方程式 橢圓

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

令 u=√2·x, v=√3·y, w=√6·z
變成
u²+v²+w²=6²
√2 u - (√3/3) v + (√6/3) w = k → 3√2 u - √3 v + √6 w = 3k
(以 u, v, w 為座標系)
知道上式為球方程式
下式為平面方程式
因平面與球相切
故 原點到該平面之距離為6
|3k| / √(18+3+6) = 6
|3k| = 6 · √27
|k| = 6√3
k=±6√3

(u, v, w) = ( 3√2 t , -√3 t , √6 t ) 代入球方程式
(若代回平面方程可知 t k 同號)
(同時 (x, y, z)=(3t, -t, t) )
18t²+3t²+6t²=36
27t²=36
t²=4/3
t=± (2√3)/3

(¯―¯٥)

我沒有學過橢圓所以不是很確定，請問：當方程式變成u²+v²+w²=6²時的意思是，在uvw座標系中，原本的橢球已經變成圓球了嗎？也是因為這樣才能確定原點到切面的距離是6嗎？

qn

對的
u²+v²+w²=6² 也是
曲面上的點到原點(0, 0)的距離為0的意思