Question

ゆ

最初の変形はどうやってやっているのか、どういう形のときにこの問題みたいな変形をするのかおしえてほしいです！

[2] 次の漸化式で表される数列{an}の一般項を求めよ。
6. a1 = -2,
2,an+1=-3an-4n+3 (n = 1, 2,3,…)
(5)

|2|
6. 与式は以下のように変形できる。
Anti + (nell-1 antith
an-
an+1-{(n+1)+1}=-3{an- (-n+1)}
よって, 数列{an- (-n+1)} は初項α- (-1 + 1) = - 2,公比-3の等比数列なので、
(-n+1)=-2(-3)"-1
An
-302-97
<3 (antall
∴. an=-2(-3)" '-n+1

Answer 1

ねぎ

a_n+1 = pa_n + f(n)
(pは0以外の実数、f(n)はnについてm次の整式)
という形のときに使える手法で、
a_n+1 - g(n+1) = p(a_n - g(n))
を満たすnについてm次の整式g(n)を見つけ出して等比の形にしたら解きやすいよね、というものです。

この問題の場合、上の式のf(n)にあたるのが-4n+3で1次式なので、
a_n+1 - g(n+1) = -3(a_n -g(n))
を満たすnについての1次式g(n)を見つけたいわけです。
そこで、g(n) = αn + βと置いて、上の式に代入すると、
a_n+1 - α(n+1) - β = -3(a_n - αn - β)
いろいろ移項して
a_n+1 = -3a_n + 4αn + α + 4β
となるので、元の漸化式と比較すると
4αn + α + 4β = -4n + 3
となり、あとはnについて係数を比較して
4α=-4
α+4β=3
という連立方程式になるのでこれをαとβについて解いて
α=-1, β=1
と分かり、ようやくこの変形にたどりつけます。

今回は解説のためかなり長々と説明しましたが、外部の模試や入試本番などではこの途中の部分は全省略で解答のように「変形すると、」で済ませても問題ないと思います(ただし学校の定期テストなどは書くか書かないか先生の言う通りにしてください。何も言われてないなら模試や入試の場合と同じでOKだとおもいます)。