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基本例題 242 放物線と円が囲む面積
TROCS H
ORHANSE
5
放物線L:y=x2 と点 R (0, 21 ) を中心とする円Cが異なる2点で接するとき
4
739 K
味
(1) 2つの接点の座標を求めよ。
(2) 2つの接点を両端とする円Cの短い方の弧とLとで囲まれる図形の面積S
を求めよ。
[類 西南学院大 ] 基本 237
指針▷(1) 円と放物線が接する条件を p.156 重要例題102では接点重解で考えたが、
b+aps=d+op
ここでは微分法を利用して,次のように考えてみよう。
LとCが点P で接する点Pで接線l を共有する ⇔ RP⊥ℓ
LAO
(②2) 円が関係してくる図形の面積を求める問題では,扇形の面積を利用することを考え
ACT
1 ²0
21
するとるとよい。 半径が , 中心角が 0 (ラジアン)の扇形の面積は
byd
解答
(1)y=x2 から y'=2x
果の
LとCの接点Pのx座標をt (t=0) とし, この点での共通
の接線をl とすると, lの傾きは
2t
点と点P(t, t2) を通る直線の傾きは
② 放物線y=f(x)と2本の接線と
412-5-1
4t
をそれ nens-s
DAER
RPi l から x2t.
S=S+△RBA-(扇形RBA)
200+0x
t2_
から
-S(+4)
√√3x +
2
2
√3 のゆえに、接点の座標は
2
t-0
よって t=±
=(2+(-)
(2) 右図のように,接点A,Bと点Cを定めると,
x-
5
4 4t2-5
5 3
RC:AC=1:13 から ∠ORA=13. RA-2-(1-2)=1
4 4
(298+6) al
L と直線 AB で囲まれた部分の面積をSとすると
2
√√3
2
2
2.
10
= √²+ ( ³3 - x³²) dx + 1/2 · 1² · sin ²/3 7-7.1. Ze
π一 •1².
/3
2 3
√3
4t
$$8730<D
√3 T
4 3
dx+
(0
√√3
1-(-1){ √ ³ - (- 1¹/3³ ) ² + √³-3-
2
2
4
R
(x))
ゆえに f=22-x)(x+\=(xー(x)
√√3 π 3√3
4
8+0
S
42-8 B
3 +
3/4
(33) (-33)
2 4
2
A
O
a)-(0-B $1
π
B
132
YA
1-2
722
√3
R
t²
5
5
4
540
VAL(y=x2)
4 R
R
A
P
1
132
R
