Question

N

三角比です
問題文に書いてあるのは比なのに辺の長さとして扱ってもいいんですか？

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重要 例 168 三角形の面積の最小値
| 面積が1である △ABCの辺AB, BC, CA 上にそれぞれ点D,E,F を
AD: DB=BE: EC=CF:FA=t: (1-t) (ただし, 0<t<1) となるように
る。
(1) ADF の面積をtを用いて表せ。
(2) △DEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を求めよ。
指針 (1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと、
△ABCと△ADF は ∠Aを共有していることに注目。
△ABC=1/AB・ACsinA(=1),
解答
(2) △DEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE) として求める。
Sはもの2次式となるから,基本形 a(t-p)2 +αに直す。
ただしtの変域に要注意!
(1) AD=tAB, AF=(1-t) AC
であるから
AADF=AD･AFsinA
1
AADF= -AD AF sin A
AD
2
1-t
練習 1辺の
-
D
=t(1-t)AB. AC sin A
また, △ABC=1 ABACsin A
であり, △ABC=1から AB.ACsin A=2
よって
△ADF=12t(1-t).2=t (1-t)
2
ANS &
(2)(1) と同様にして ABED=ACFE=t(1−t)
よって
S=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE)
A 08:08
12
= 3 ( +- ²1/-)² + ·
ゆえに, 0<t<1の範囲において,Sは
1-t
BtE(1-t-
B
2-114 S+S)+
MAI=1-3t(1−t)=3t²−3t+1
676 =3(1²-1)+1=3{1²-1+ ( 1 )²} − 3 ( 12 ) ² + 1
2
03
EGO
C
晶検討
一般に
MAAI
t=1/2のとき最小値
をとる。
(D,E,F がそれぞれ辺 AB, BC, CA の中点のとき最小となる)
△AB'C'__ ABAC
△ABC AB-AC
nico A
B
B'
OXE
+1 SA S-31-3t+
AC
0
C
最小

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

赤い彗星

この解答例は、長さではなく、比として扱っています。