Question

ｴﾉｷ

どうしても分からない事があったため質問させて下さい！
私は2枚目の写真のように解いて、赤文字部分の答えが足りずに間違えてしまいました。
解答はf(x)とg(x)のy座標が一致する事を利用していましたが、私はf(x)とg(x)それぞれの点Pにおける接線のy座標が一致する事を利用しました。
私はどちらで解いても答えは同じかなと思っていたのですが、なぜ私の解き方では2枚目の写真の赤文字の答えが出てこないのか教えてほしいです…

基本例題167 共通接線 (2) ･･･ 2 曲線が接する
0<x<πのとき, 曲線 C1:y=2sinx と曲線 C2:y=k-cos2x が共有点P で共
通の接線をもつ。 定数kの値と点Pの座標を求めよ。
で
指針 2 曲線 y=f(x) と y=g(x) が共有点で共通の接線をもつ (2曲線
その共有点で接するともいう) ための条件は、共有点のx座標
を t とすると,次の [1],[2] を満たすことである。
[1] f(t)=g(t)
座標が一致する
[2] f'(t)=g'(t) ·
微分係数が一致する
解答
y=2sinx から
y=k-cos 2x から
共有点Pのx座標をt (0<t<²) とすると,点P で共通の接線
をもつための条件は
2sint=k-cos2t
かつ 2cost=2sin2t
② から cost=2sintcost
よって
0 <t<πであるから
Islote
Cost = 0 より
t=₁
t=22₁
t=7のとき, ① から
cost=0, sint=
のとき、①から
t=cのとき、①から
ゆえに、点Pの座標は
k=1 (t=1のとき
......
P
y'=2cosx
y'=2sin2x
TC
①
(2)
ゆえに cost (2sint-1)=0
11/12より11/01/10/0
t=
-π
6
k=1
sint=
P(2, 2)
π
5
k=2012 (17/01/2)のとき
t=
6
2=k+1
1=k-
1=k-
1
2
1
2
よって
よって
よって
C2
k=
2
k=
3|23|2
3
kの値を求める。
y522
y=f(x)
共通接線
まず, 導関数を求める。
y=-(-sin2x) ･2
ya
y座標が一致。
22
微分係数が一致。
2倍角の公式を利用。
基本166
1120
3
左下は k=1, 右下はk=
のときのグラフ。
ha
Ci
C1
!
π
x
46
y=g(x)
接する
56
π x
x

f(x) = 2sinx < g(x) = k - cos2x Cic.
t'(x) = 2 casx g'(x) = 2sin2x、共有点Pの座標をx=tとおく。
よって、点におけるCの接線は、y=2cost(x-t)+2sint
= 2(cost) x-2t cast + 2 sint ... D
点PにおけるC2の接線は、y=2sin2t(x-t)+k-cos2t
よって①と②は同じ接線であるから、それぞれの式の係数と定数項を比べると、
2 Cost = zsin 2t ... 3
-2tcost + 2 sint = k-2tsin2t-cos2t +
④に③を代入すると、④は、
-2tsin2t+2sint= k-2t sin2t - coszt
= 2 (sinzt) x+k-2t sin 2t-cas2t ... @
Cos2t +2 sint-k=0
→ 1-2 sin²t + sint-k=0 222 sint=S CACC.
1-25² +S-K=0
#25²-S+K-1=0.この二次方程式において、判別式をDとすると、
D = 1-2 (k-1)
= -2k +3=0k.
1
1. k=1/2/24、このとき、S=1/2より、sint/2、よってた(:0く亡く)
よって、た否のとき,P(1,1),
t = FRACE P(ER, 1),
| = || t= 1/² ) α₁ x # P ( 1 (2²)

数学iii 微分 共通接線

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

綾野穂香

接線の一致を用いるという方針に問題はありませんが、計算して得られる s の二次方程式の判別式が 0 であると言える理由がありません。③ から s を求める方針で計算すると、k = 1, 3/2 が得られます。

ｴﾉｷ

④に③を代入しても何の答えも得られないので③を式変形して進めるべきという事ですね！