Question

あ

空欄マミについて、3枚目解答の①を満たす複素数zは〜楕円を描くのところが分かりません。
公式でしょうか？

(2)とyが共に整数であるような座標平面上の点 (x,y) を格子点とよぶ。 また,
実部と虚部が共に整数であるような複素数を複素整数とよび, żは虚数単位を表

す。 このとき以下が成り立つ。
(a) 座標平面上の楕円の方程式 25
x²
+
とyが共に正であるものは ( ヌ
y²
9
100
ネ)と(ノハヌ
<ﾉ
の2点であり、この楕円上にある格子点は全部でヒフ個ある。
(b) (a) の楕円の焦点はs= ]Vホ とおくと (0, -s) と (0, s) である。
2
|iz-s|+|iz + 3| = 20 を満たす複素整数は全部でマミ個あり,そ
の絶対値 | 2|がとり得る値の最大値はムメ 最小値はモである。
=1を満たす格子点 (x,y) のうち

→
+
25 100
y= ±2√25-x²
(2)(a)
であるから
x=0のとき
x=±1のとき
x=±2のとき
x=±3のとき
x=±4のとき
x=±5のとき
よって,楕円
るものは
-=1 をyについて解くと
y = ± 10
y = ± 4√6
y = ±2√21
y=±8
y=±6
y=0
+
25 100
(38),(4,6) ヌ~ハ
これら以外の格子点は
をとる。 →ム~モ
=1上の格子点 (x,y) のうちょとyが共に正であ
(0, ±10), (3, -8), (-3, ±8),
(4, -6), (-4, ±6), (±5, 0)
の10個あるから,この楕円上にある格子点は全部で
(b) 楕円の焦点の公式より s=√100-25=5√3
また,|iz-s|+|iz+s|= 20……… ① を変形する
|i (z + si)|+|i(z-si) | =20
∴.|z-(-si)|+|z-sil = 20
よって, ① を満たす複素数z は, 複素数平面に
おいて2点si を焦点とし, 長軸の長さが20
の楕円を描く。この楕円は、座標平面では(a)の
楕円であるから, ① を満たす複素整数も全部
で12個ある(右図の黒丸)。
そして,|z|は複素数平面において原点とzの
距離を表すから, |z|は
|z = ±10i のとき, 最大値10
1 z = ±5のとき、最小値5
al
CS+A
12個 ヒフ
ホ
BOTA
CA=154 DA MASAL
10
eb=as+57
-3
186
O
-6
-81
-10
3
-4
15

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

おれお

複素数の絶対値は距離を意味してるので、|z-(-si)|は-siとの距離、|z-si|はsiとの距離を表しています。

「ある2点からの距離の和が等しい」ところを描いたのが楕円形なので、

|z-(-si)|+|z-si|=20は2点-siとsiからの距離の和が20となるようなところを描く楕円となります！