Question

20.

想請問14.題 有看了詳解了，不太懂題目在表達什麼，謝謝😭

logs n, loggn為有理數,
5.對任何正整數n,令f(n)=
10
,其他
logon = log / n
則f(1)+f(2)+......+f(2008)=
【中區聯合模擬考

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

qn

如果 log₈n 是有理數，就把它加進總和裡面，反之則不加
所以我們要先知道：什麼情況下 log₈n 是有理數

若 y=log₈n 是有理數
→ n=8ʸ ，也就是：8的有理數y次方是正整數n
因為 8=2³ ，為了維持n是整數，y的分母頂多只能有3
易知 y=k/3, k是整數

1≤n≤2008 → 0≤y≤log₈2008 → 0≤k≤3log₈2008=log₂2008
(1024=2¹⁰<2008<2¹¹=2048 → 10<log₂2008<11)
求出 k 的範圍是 0≤k≤10

故所有的y分別是 0, ⅓, ⅔, ⋯, 10/3
總和=55/3

qn

也可以想成
log₈n 是有理數
⇔ ⅓log₂n 是有理數
⇔ log₂n 是有理數
所以 n=2ᵏ
1≤2ᵏ≤2008 → 0≤k≤10
(欸？這樣比較簡單吧)

20.

理解！很清楚！！非常謝謝你！！