Question

函館駅前

この問題の(2)が分かりません。
どなたかご教授頂けると嬉しいです！

Rを2以上の自然数として、xy平面上における2曲線
C. Y = sinx (0=x= =), C₁: y = k sinkx (0 = x ² # )
=
を考える。の値によらず 0<x<晋においてただ1回交わる。
この交点のx座標をOKとすると
TU
2k
(1) lim kok を求めよ
(2) 曲線C(0=x=xk)、曲線Ca(
S
により囲まれる面積をSkとする。
<ひゃくを満たす。
TC
カ=x=音)、および火軸
を求めよ
lim k² Sk
k→∞

積分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

函館駅前さま
(1)lim(k→∞)(k・αk)=π　■
(2)Sk=∫(0～αk)sinxdx+∫(αk～π/k)ksinkxdx　←囲まれる図形は”おむすび形”の部分です
=-［cosx］(0～αk)-［coskx］(αk～π/k)　←(0～αk) は「上端 αk , 下端 0 」を表します
=-(cosαk-1)-｛-1-cos(k・αk)｝
=(1-cosαk)+｛1+cos(k・αk)｝
　　 =2sin²(αk/2)+2cos²(k・αk/2)　←半角の公式 sin²(θ/2)=(1-cosθ)/2 , cos²(θ/2)=(1+cosθ)/2
　∴k²Sk=2｛ksin(αk/2)｝²+2｛kcos(k・αk/2)｝²　…①
　ここで、k→∞ のとき αk→0 , (k・αk) → π に留意して
　　ksin(αk/2)=｛sin(αk/2)/(αk/2)｝・(k・αk)/2→1・π/2=π/2　…②
　また、sinαk=ksin(k・αk)=2ksin(k・αk/2)cos(k・αk/2) より　←２倍角の公式 sinθ=sin2(θ/2)=2sin(θ/2)cos(θ/2)
　　kcos(k・αk/2)=sinαk/2sin(k・αk/2)→sin0/2sin(π/2)=0/2=0　…③
　①～③より
　　lim(k→∞)Sk=2(π/2)²+2・0²=π²/2　■

Take

さいごの１行に誤り。
lim(k→∞)k²Sk=2(π/2)²+2・0²=π²/2　■
です。

函館駅前

御回答頂きありがとうございます。
倍角の発想はなかったです。