〇和が
-)
数列の
例題 310 漸化式と確率 (3)
数直線上を原点から右 (正の向き) に硬貨を投げて進む。 表が出れば 1
進み, 裏が出れば2進むものとする。 このようにして, ちょうど点nに到
達する確率をpm で表す. ただし, nは自然数とする.
(
(1) 3以上のnについて, n と D-1, D-2 との関係式を求めよ.
(2)≧3) を求めよ.
48305
++
■解答 (1) 点nに到達するのは, 点 (n-1) に到達して表
が出る場合か、点 (n-2) に到達して裏が出る場
immi
mm
合である。よって, n≧3のとき,
考え方 (1) 点nに到達するのは、次の2つの場合が考えられる. (ii)
(i) (n-1)に到達して、 表が出る.
imm
(ii) (-2)に到達して, 裏が出る.
(大豆北)
1
(2) pn=12pn-1+1pn-2 を変形して,
Focus
P₁=
G-LAL
初項
1
pn=Pn-1 • 2 + pn-2 • 1² = 12 Pn-1 + ½ pr-:
2
1
A-1293847
12/23
2'
Pnt.
+/1/2.pn-2
3
p2= だから,数列{bn+1-pn}は,
4
か=21,公比
= 1,公比 - 123の等比数列となり,
n-1
n+1
Pn+₁-pn = 1 + (-1) ² - ¹ = (-1)^² ..1
......
4 2
数列 pats+ /1/2pm} は隣り合う項が等しいから
Pn+₁ + 1/² Pn= P₂ + ²/² P₁ = ³ + 1/2 - 12/1
3
4
よって①,② より p=//{1-(-1/2)^2}
n-2
NDOSE 3&<$7/₂2²_1
A2
pn=²3
3
43435
n-1
x2=
-x+
Pn-Pn-1=--(Pn-1-Pn-2)
Pn-Pn-1=(Pn-1-pn-2) 2 2
2解x=-
****
(n-1)+1 n
(京都大)
特性方程式
(n−2)+2n ([).
裏
→
23
(i)
点nに到達する1回前の試行に注目して漸化式を作る
3項間
100
2'
n
1/12/12/01/11/1/11/11/
βとして
Pn-apn-1 B(pn-1-apn-2)
に2通りの代入をする.
2 は次のように考える.
1 1_1
P₂= P₁° 2 + 2 = 2 Pit.
3
1
\n +1] || =* = P₂+2 P₁
2-1
をα,
Pn+1 + 1/ Pn=p₂ + 1/2 Pn - 1
+
XC
1
2
なとき
第8章
