たす
A
G
不等式を満たす点の存在範囲 (1)
重要 例題 27
複素数zが|z|≦1を満たすとする。 w=z+2i で表される複素数について
(1) 点wの存在範囲を複素数平面上に図示せよ。
(2) 2 の絶対値をr, 偏角を0とするとき, rと0の値の範囲をそれぞれ求めよ。
ただし, 0≦0<2πとする。
基本 21.23
指針 (1) w=z+2iからz=w2iとして、これを|z|≦1に代入。 下の検討も参照。
(2) w=R(cosa+isina) [R>0] として, ドモアブルの定理を利用。
→rはR,0はαで表すことができるから (1) で図示した図形をもとにして,まず
R, α のとりうる値の範囲を調べる。
2h fry.
Vi b b + 4 1 2
よって
解答
(1) w=z+2iから
z=w-2i
これを21に代入して |w-2i|≦1
ゆえに,点の全体は, 点2i を中心と
する半径1の円の周および内部である。
よって,点の存在範囲は右図の斜
線部分。ただし、境界線を含む
(2) WR (cosa+isina) [R>0] とする
と
よって, 条件から
(1) の図から
したがって
1≤r≤9
また,右図において OA=2, AB=1,∠ABO=
w²=R²(cosa+isina)²=R²(cos 2a+isin 2a)
r=R2, 0=2a
|i|≤|w|≤|3i| ゆえに 1²≤R²≤3²
∠AOB=
π
π
6
sas
2
3
WX...
ゆえに
4
ゆえに 12/2012/30
π
537 S
2
同様にして
4
よって 1/23 2013/0
-π≤2α≤
3″
π これは 0≦0<2πを満たす。
<AOC= π
6
検討 不等式 | Z-α|≦r, z-a|≧rの表す不等式
P(z), A(α) とすると, AP= |z-αであるから
① 不等式 | z-α|≦r (r > 0) を満たす点 全体は
点Aを中心とする半径の円の周および内部
② 不等式|z-α|≧r (r > 0) を満たす点 2 全体は
点Aを中心とする半径rの円の周および外部
である。
(1) AV
0
Xx
<P(ω), A (2i) とすると,
|w-will を満たす点w
は,点Aからの距離が1
以下の点, という意味をも
つ。
(bhs
(1) の図から, wの絶対値 |w|
は, w=3iのとき最大, w=i
のとき最小となる。
|w|=R
P(z)
A(a)
||z-a|≤r
O sol
C
(2)
x O
左
B
3:6
1
P(z)
55
A(a).
|z-a|zr
1章
4
複素数と図形
x
練習z-21を満たす複素数zに対し, w=z+√2iとする。 点wの存在範囲を
27 複素数平面上に図示せよ。 また の絶対値と偏角の値の範囲を求めよ。ただし、
偏角は 0≦2の範囲で考えよ。
Op.80 EX21
