Question

jpgamw

解答の線を引いたところについて質問です。
なぜ0より大きいと分かりますか？
また0より大きいからなぜ逆数を取れるのですか？
小さいと取れませんか？
そしてこの逆数を取るというのは暗記ですか？
質問多くなってしまいすみません🙇
よろしくお願いします☀️

例題3 漸化式で与えられる数列の極限
次のように定められる数列{an}について, liman を求めよ。
n-00
考え方
解
a=1, an+1=
漸化式の両辺の逆数をとり, = b, とおくと,数列{bn}についての漸化式を
an
導くことができる。
an+1
すべてのnについて an> 0 となるから, 漸化式の両辺の逆数をとると,
1_an+1_1 +1
an
an
an
an+1
よって,
このとき,
bn+1=bn+1, b₁=1=1
数列{bn}は,初項 b1=1, 公差 1 の等差数列であるから,
bn=1+(n-1)・1=n
(n=1, 2, 3, .....)
1
- = b, とおくと,
an
an=
1_1
bn
n
12 00
1
n→∞ n
liman=lim
i=0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

すけ

まずan>0の理由です。
a1=1、a2=1/2、a3=1/3、⋯と
値は小さくなってはいきますが、0になることも負になることもないと分かります。

次に逆数を取れる理由です。
逆数をとった場合anやa(n+1)が分母にきますが、
これらが0でないことを示す必要があるためan>0としています。
0より大きいから逆数をとれるのではなく、0でないから逆数をとれるのです。

そして逆数をとる理由です。
a(n+1)とanに規則的な変化を見つけると解くことができますが、今回は逆数をとるとanの逆数に1を足すとa(n+1)の逆数になるという規則性が分かります。
形式的なものなので覚えちゃったほうがいいかもしれないですね。

jpgamw

回答ありがとうございます。
確かに小さくはなっていきますが、0より小さくなることはありませんね！
また、分母が0だといけないから0より大きいと書く必要があるんですね🙋
あと暗記しておきます。
どれも分かりやすく助かりました☀️
ありがとうございました。