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基本例題220 不等式の証明(微分利用)
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) x>2のとき x3+16>12x
(2) x>0のときx4-16≧32(x-2)
指針
p.328 基本事項 ③,基本 211
ある区間における関数f(x) の最小値がm ならば,その区間において,
つ。これを利用して, 不等式を証明する。
大小比較は差を作る 例えば, f(x)=(左辺) (右辺) とする。
2② ある区間におけるf(x) の値の変化を調べる。 (
3 f(x) の最小値を求め, (区間における最小値)>0 (または ≧0から、f(x
(または0)であることを示す。 を備えるとよい。
なお, ある区間でf(x) が単調に増加することを利用する方法もある。
→x>aでf'(x)>0かつf(a)≧0ならば,x>αのときf(x) > 0
【CHART 不等式の問題
① 大小比較は差を作る
2② 常に正⇔ (最小値) > 0
解答
(1) f(x)=(x+16)-12xとすると
f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)
f'(x)=0 とすると
x=±2
x≧2におけるf(x) の増減表は右のように
なる。
よって, x>2のとき
したがって
f(x)>0
x3+1612x
をとる。
よって, x>0のとき
したがって
f'(x)=0 とすると
x>0 におけるf(x) の増減表は右
のようになる。
ゆえに, x>0のとき, f(x) は
x=2で最小値 0
f(x) ≥0
x-1632(x-2)
(2) f(x)=(x^-16)-32(x-2) とするとの
f'(x)=4x³-32=4(x³−8)=4(x−2)(x²+2x+4) Sp
x=2
f'(x)
f(x)
DELO
XC 2
0
f'(x)
+
f(x) 0 >
+'ps+)(D5+1
SV-
2
0 +
f(x)=mが成
極小
0
7
f(x)=(左辺) (右辺)
別解 (1) x>2のとき
f'(x)>0
ゆえに.x>2のとき
f(x) は単調に増加する。
よって,x>2のとき
f(x) >f(2)=0201
すなわち f(x)>0
◄x³-8-0
満たす実数解は
x=2 のみ。
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LEONA LE
[] f(x) の最小値] 20
