定積分の計算(2)
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重要 例題
Sosin
"sin mxcos nxdxの値を求めよ。 ただし,m,nは自然数とする。
定積分
00000
文字を含む三角関数の定積分
指針▷ 不定積分を求めるには,次数を下げる方針で進める。
この問題では,積
(p.8 参照) を利用すると
和の公式
sin mx cos nx= 1/12 {sin(m+n)x+sin(m-n)x}
ここでの部分に文字が含まれていることに注意!
mnは自然数より, m+n=0となるから, m-n につ
いて m-n=0, mn=0 の場合に分けて計算する必要がある。
CHART
三角関数の積分次数を下げて、 1次の形に
解答 場合分け忘れずに
π
I = So sin mxcos nxdx とする。
==
sin mx cos nx= -{sin(m+n)x+sin(m-n)x}
2
[1] m-n=0 すなわちmキュのとき
I=-
1 [ cos(m+n)x cos(m_n)x
m+n
m
1 { cos(m+n)x cos(m_n)x
m+n
m-n
m+nが偶数のとき, m-nも偶数で
2m
1/² ( m² + n²
1
m-n
I=-
2
m²-n²,
m+nが奇数のとき, m-nも奇数で
1
1
1/² ( - m²+n
I=-
m-n
[2] m-n=0 すなわちm=nのとき
1=1/25/18²
I=
+
+
p.8 まとめ, 基本 207,209
sin 2nx dx= [- An
2m
π
cos 2nx
=0
ポイントは
分解!!
0
2
/2m
2
であるから
M²
-40.422
単純に
—Ssin(m_n)xdx=_ cos(m_n)x
m-n
←
2m
m²-n²
p.323 基本例題 207 参照。
だから
としてはダメ!
********
積→和の公式
cos kn=
←=1_1
このとき, m+n は偶数である。
以上により m+nが偶数のとき I=0, m+nが奇数のとき I=
-+C
52
1 ( kが偶数 )
-1 (kが奇数)
m+nが偶数
⇔m, nはともに偶数
またはともに奇数
⇔m-n が偶数
m+nが奇数
⇔mとnの一方が偶数
でもう一方が奇数
⇔m-n が奇数
2m
m²-n²
cos（m+n)×0＝0とはならないのでしょうか？