Question

らむ

相似条件について質問です。
その間の角が等しいというのはどこからわかりますか？

テーマ
46 ベクトル (空間) ①
問題46
★★☆ 25分
四面体 OABC において, 三角形ABCの重心をGとし,線分 OG
をt : 1 - f(0<t < 1) に内分する点をPとする。また,直線 AP と
面 OBCとの交点を A', 直線BP と面OCAとの交点を B', 直線 CP
と面OAB との交点をCとする。このとき, 三角形 A'B'C'は三角形
ABCと相似であることを示し,相似比をtで表せ。
・
(京大文理共通 05後)

(-)
y
C
べとに
実行
は△ABCの重心であるから,
OG=(OA+OB+ OC)
3
であり, OP: PG = t : 1 - t より
OP=tOG=(OA+OB + OČ)
3
A'は直線AP上にあるから、 ある実数
Sを用いて AA' = SAP と表せ ,
OA' (1-s) OA+SOP
=(1-s)0A+ (OA+OB + OC)
stoc ......
-(1-s+) OA+OB+ OC
3
st
3
st
3
OA' =
st
3
と表せる。
4点 0, A, B, C は同一平面上にないから, ①, ② より
1-s+
= 0
また,A′は平面 OBC上にあるから、ある実数x, y を用いて
OA'=xOB+yOČ
......2
=x
st
3
よって②,
t
3- (OB+OC)
=y
A'B' OB'-OA'
t
3-t
A
t
- BA
3-t
t AB
S=
(OA - OB)
3-t
x=
1-t
3
3-t
同様にして
t
OB' = 3 (OC+OA), OC=3-(OA+OB)
3-t
したがって,
y =
G
t
3-t
A'
t
-3-1 (0</<1*1.)
3-t3-t
B
C
テーマ46 ベクトル (空間) ①3

ONOI
同様に,
A'C' =
==
=
であり,2辺の長さの比とその間の角が等しいから,
△ A 'B'C'S △ABC
検討
また,0<t<1より,相似比は,
| A'B' | : | AB |
I
-1-3 ²-2 17 A AB|AB|
AB:1
t
4-3-71:1
t
3-t
3-t
=t:3-t
:1
なるので,
-AC
A
t
A'B' = 3-1¹
t
3-AB
BA
B'
C'
A'
最後の△A'B'CS △ABC は A'B', AC を, A を始点に
して ABとACで表しましたが、 ③の途中で,
対称性をウマく利用
る方針で,次のように解答してもよいでしょう。
A
3-7 AC
B

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

mo1

参考・概略です

――――――――――――――――――――
　Ａ'Ｂ'＝{－{t/(3－t)}ＡＢ　･･･　③

　同様に

　Ａ'Ｃ'＝{－{t/(3－t)}ＡＣ

――――――――――――――――――――
とあることから

　|ＡＢ|：|Ａ'Ｂ'|＝|ＡＣ|：|Ａ'Ｃ'|＝(t－3)：t

　　で，2組の辺の比が等しく

　ベクトルなので，ＡＢ//Ａ'Ｂ'，ＡＣ//Ａ'Ｃ'で

　　同位角は等しく，∠ＢＡＣ＝∠Ｂ'Ａ'Ｃ

　という感じで，

　「２組の辺の比とその間の角が等しい」

　と解説しているものと思われます