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基本例題 21 組分けの問題 (1) … 重複順列
6枚のカード 12 3 4 5 6 がある。
(1) 6枚のカードを組Aと組Bに分ける方法は何通りあるか。 ただし,各組に
少なくとも1枚は入るものとする。
(2) 6枚のカードを2組に分ける方法は何通りあるか。
基本20
(3) / 6 枚のカードを区別できない3個の箱に分けるとき, カード1,2を別々の
箱に入れる方法は何通りあるか。ただし、空の箱はないものとする。
指針 (1) 6枚のカードおのおのの分け方は, A,Bの2通り。
2通り
→重複順列で
ただし、どちらの組にも1枚は入れるから, 全部を
-2
AまたはBに入れる場合を除くために
÷2
(2) (1) で, A, B の区別をなくすために
(3) 3個の箱をA, B, C とし, 問題の条件を表に示すと、
右のようになる。 よって、 次のように計算する。
(3,4,56をA, B, C に分ける)
(Cが空箱になる 3 4 5 6をAとBのみに入れる)
CHART
12
↑
A
or
B
B
(2) (1) A,Bの区別をなくして
3 4 5 6
↑
or
B
箱
カード
組分けの問題 0個の組と組の区別の有無に注意
A A
A B C
1
2
3,4,5,6から少なくとも1枚
or or
B BB
(1) 6枚のカードを,A,B2つの組のどちらかに入れる方 | A,Bの2個から6個取
法は
2°=64(通り)
る重複順列の総数。
解答
このうち, A, B の一方だけに入れる方法は 2通り
よって, 組Aと組Bに分ける方法は
64-262 (通り)
(2組の分け方)×2!
= (A, B2組の分け方)
62÷2=31 (通り)
(3) カード 1, カード2が入る箱を、 それぞれ A, B とし, (3) 問題文に「区別できな
残りの箱をCとする。
い」とあっても、カード
1が入る箱, カード2が
入る箱, 残りの箱, と区
別できるようになる。
Cが空となる入れ方は,
A,Bの2個から4個取
る重複順列の総数ん
通
A,B,Cの3個の箱のどれかにカード 3,4,5,6を入
れる方法は
34通り
このうち, Cには1枚も入れない方法は 24通り
したがって 3'2'=81-16=65 (通り)
【練習 (1) 7人を2つの部屋 A, B に分けるとき,どの部屋も1人以上になる分け方は全
部で何通りあるか。
③ 21
H
(2) 4人を3つの部屋 A, B, C に分けるとき,どの部屋も1人以上になる分け方は
全部で何通りあるか。
(3) 大人4人、子ども3人の計7人を3つの部屋 A, B, C に分けるとき、どの部屋
も大人が1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
P.366 EX 18 1
重複順列,組分けの問題に関する注意点
前ページの例題21 やp.372 例題 25 のように, 組分けの問題には,いろいろなタイプがあ
問題の設定に応じて考えていく必要がある。 例題21では重複順列の考えを利用して
り、
いるが、その内容について更に掘り下げて考えてみよう。
重複順列の考え方
異なるn個のものからr個取る重複順列の総数はn
222
(*)のnを単に公式として覚えているだけでは, nr を 通通通通通通
2
取り違えて,例えば (1) では, 26 でなく62としてしまうミス
をしやすい。 よって、慣れないうちは指針の (1) にあるような図, または上の図の
ように,各位置に何通りの方法があるかがわかるような図をかくとよい。
また,図をかくことで, 重複順列は,積の法則を繰り返し利用したものになって
ていることがわかり, (*)の式の原理をしっかり理解するのにも役立つ。
BIO P
この問題である。
1 2 3
TTTT↑
組分けの問題での注意点1
組分けの問題では, 0 個となる組が許されるかどうかにまず注目しよう。
(1) では,「各組に少なくとも1枚は入る」 (0枚の組はダメ)という設定であるか
ら,(組A :0 枚,組B:1~6の6枚) の分け方と(組A: 1~6の6枚組B:
0枚)の分け方を除く必要がある。ここで、仮に「1枚も入らない組があってもよ
い」(0 枚の組も OK)という設定ならば、答えは28=64 (通り)となる。
なお,(2) では,一方の組に6枚のカードすべてを入れると組の数は1となり,
2組という条件を満たさない。すなわち, 問題文に断り書きはないが,「0枚の組
は許されない」という前提条件のもとで考えていくことになる。
(2) において ÷2 する理由
(1) の 62 通りの分け方のうち、 例えば (1) で
は右の①,②の分け方は別のもの ( 2 通
り) である。
62
しかし, (2) では組 A,Bの区別がなくなる :
から､①と②は同じもの (1通り) となる。
のうち組の区別をなくすと同じになるものが2通りずつあ
しているのである。
A
to tan
りりりりりり
15
6 1
B
15 6
3
分け方を書き上げると、(1)では5通り (2)では3通りとなる。
365
:
分けの問題ではしかるものや組に区別があるかないかをしっかり見極める
ことも重要である。 例えば、 例題 21 (1), (2) ではカードに区別があるが,仮にカー
結果固まったく異なるので、注意が必要である。
259の検討参照。 カードの枚数だけに注目し, 数え上げによって
1
嬉し
章
4 円順列・重複順列
まる。
数である
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分かりました！ありがとうございます！