Question

ずんだもち

この問題の解き方を教えて下さい。
答えは13：7でした。
解説お願いします！

4. は△ABCの内心である。 BI: IE を求めよ
A
B
5
D
-8--
E
7.
C

Answer 1

H.R.

内心の問題は角の二等分線の性質をいかに活用できるかどうかがkeyになってきます。
詳しくは下のサイトの角の二等分線にまつわる公式④をご覧ください。
https://www.shuei-yobiko.co.jp/labo/jh-math-byousatsu08/

それでは今回の問題を解説していきます。
角の二等分線の性質より、BI:IE=AB:AE
なので、AEが知りたいです。
角の二等分線の性質より、BC:BA=CE:EA
であるので、そこからAEを求めていきます。
CE:EA=8:5より、AE=7×5/13=35/13
BI:IE=AB:AEより、
AB:AE=65:35=13:7
よって、BI:IE =13:7となります！

Answer 2

ゆい

三角形の角の二等分線の性質より ∠ABE=∠CBE より AE:EC=AB:BC=5：8 ∴ AE=AC*(5/13)=7*(5/13)=35/13 ∠BAI=∠EAI より BI:IE=AB:AE=5：(35/13)＝13：7
ご不明な点があれば質問して下さい🙇‍♀️

ずんだもち

AE=AC*(5/13)=7*(5/13)=35/13
この部分がよく分からないです。

ゆい

AE=AC*(5/13)=7*(5/13)=35/13 の部分は
AEとECの比が求められたので、比からAEの長さを出そうとしています。
AC全体を5＋8=13として考えると、AEはACの5/13ということです。

ずんだもち

自分はこのやり方でやったのですが、どこが間違えているのか、また、メネラウスの定理を使ってこの問題が解けるか、教えていただけると幸いです。

ゆい

メネラウスの定理はあくまで線分の比を利用するやり方なので、上記のような自ら仮定した比は使えないと思います。もしメネラウスの定理を使いたいのであれば、
BD/DC×CA/AE×EI/IB=1
5/7×13/5×EI/IB=1
EI/IB=7/13
と求めればいいと思います。