Question

みさ

最大公約数が整数なのは何故ですか？(マイナスになることもあると思うのですが、)
また、a.a+1が負の整数でも成り立つと書いてありますが、そうすると、m,nが自然数であることに矛盾してしまいませんか？

倍数、互いに素に関する証明
基本 例題 108
は自然数とする。 α+5は4の倍数であり, a+3は6の倍数であると
(1) a
き α+9は12の倍数であることを証明せよ。
(\2) 自然数a に対し, a と a +1は互いに素であることを証明せよ。
CHART & SOLUTION
倍数である, 互いに素であることの証明
(1) m,nを自然数として α+5=4m, a+3=6n と表される。 そして, 「aの倍数かつ
の倍数ならば,aとbの最小公倍数の倍数｣ であることを利用する。
また, αとが互いに素のとき 「ak が6の倍数ならば, kは6の倍数」 であることを
利用してもよい(別解 参照)。 (0:34.9)
18
18
3
(2) 互いに素である最大公約数が1
最大公約数をgとおいて, g=1であることを証明すればよい。
自然数 A, B についてAB=1⇔ A=B=1 を利用する。
答
(1)a+5,+3は,自然数m,nを用いて
a+5=4m, a +3=6n
と表される。
p.174,175 基本事項 1.5|
・①
a+9=(a+5)+4=4m+4=4(m+1)
a+9=(a+3)+6=6n+6=6(n+1)
②
よって, ① より α+ 9 は 4の倍数であり, ② より α+9は
6の倍数でもある。
したがって, a +9は4と6の最小公倍数12の倍数である。
(2) α と a + 1 の最大公約数をg とすると
a=mg, a+1=ng (m,nは互いに素な自然数)
と表される。
(n-m)g=1
aが自然
a=mg を a+1=ng に代入すると
キロ
mg+1=ng すなわち
は自然数であるから n-m=1,g=1
したがって, a と α+1の最大公約数は1であるから, a
とα+1は互いに素である。
別解 (1) ①, ② から
4(m+1)=6(n+1)
すなわち
2(m+1)=3(n+1)
2と3は互いに素である
から,m+1は3の倍数
である。 よって
m+1=3k(kは自然数)
と表される。ゆえに
a+9=4(m+1)
だから、
183
=4.3k=12k
したがって, α+9は12の
倍数である。
α を消去する。
◆最大公約数は自然数。
◆α と α+1 が負の整数で
も同様に成り立つ。
4
13
紅
FE
女

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

前半
最大公約数は公約数のうちで最大のもの
公約数は正も負もある
だから、最大公約数が負になることはありません

後半
それはこの問い(2)を離れた話をしています
この証明から直ちに負の場合もいえる
という話をしているのではありません

(2)は、aが正の場合a,a+1が互いに素という話
傍注は、aが負の場合も
同様の議論でa,a+1が互いに素という話
もちろんその際はm,nを負にするなど
若干の修正をすることになります

Answer 2

G/H

どんな整数も1を約数に持つので、(これが納得できない場合は、最後に約数の定義を書くので見てください)２つの整数の組は必ず1を公約数に持ちます。よって最大公約数が1より小さくなることはありません。
また2つめの質問について、参考書の回答ではaが自然数の場合を考えているのでm,nを自然数としています。a,a+1が負の整数の場合も考えるときはm,nを互いに素な整数とすれば、同様の解法が使えます。

(定義)まずa,bを整数とする時、「bがaを割り切る」とはa=kbとなる整数kが存在することを言います。
また、整数aに対して「aの約数」とはaを割り切る整数のことを言います。(1は整数aを必ず割り切るのでaの約数ですね)。