✨ 最佳解答 ✨
cos(x1–x2)=cosx1cosx2+sinx1sinx2
cos(x2–x3)=cosx2cosx3+sinx2sinx3
相加得
cos(x1–x2)+cos(x2–x3)
=cosx2(cosx1+cosx3)+sinx2(sinx1+sinx3) <*>
可以做疊合，先計算
√((cosx1+cosx3)²+(sinx1+sinx3)²)
=√(2 + 2cosx1cosx3 + 2sinx1sinx3)
（前面的2是因為平方關係式的
cos²x1+sin²x1=1，cos²x3+sin²x3=1，合併得2）
=√(2+2cos(x1–x3)) ←差角再合併
則<*>可以疊合寫成：
√(2+2cos(x1–x3))•sin(x2+θ) <**>
其中θ是固定的某實數，但在這裡不太重要。
於是
cos(x1–x2)+cos(x2–x3)+cos(x3–x1)
= √(2+2cos(x1–x3))•sin(x2+θ) + cos(x3–x1)
為了使這個函數有最小值，
又前面的根號倍數必為正數，
所以一定存在實數 x2 使得 sin(x2+θ)=–1，
因此，這個函數的最小值是
–√(2+2cos(x1–x3)) + cos(x1–x3)
為了方便起見，令 y=cos(x1–x3)，已知 –1≤y≤1。
此函數可以改寫為
f(y) = –√(2+2y) + y
= y–√2√(1+y)
= (1+y) –√2√(1+y) –1
= (√(1+y) – √2/2)² –1 – 1/2 ←這裡在配方法
= (√(1+y) – √2/2)² –3/2
≥ –3/2
並看出了當 √(1+y) = √2/2 = √(1/2) 時
即 y=cos(x1–x3)=–1/2，確實滿足 –1≤y≤1，
故此函數就有最小值發生，證畢。
但是我得說一句：不愧是建中，
光是這題證明可以感受到難度算高。